Séminaire du 23 mars 2016 à Lille

Lieu : Université Lille 1, Laboratoire de Mathématiques (Bâtiment M2)
L’acceuil et les pauses café auront lieu dans la salle Kampé de Fériet (1er étage du M2).
Les exposés auront lieu dans la salle de réunion attenante (1er étage du M2).

Organisation :
Ivo Dell’Ambrogio <ivo.dellambrogio@math.univ-lille1.fr>
Isar Stubbe <isar.stubbe@lmpa.univ-littoral.fr>
Alexis Virelizier <alexis.virelizier@math.univ-lille1.fr>

Ce SIC est soutenu financièrement par la Fédération de Recherche Mathématique du Nord-Pas-de-Calais et par le Labex CEMPI.

Participation :
La participation au SIC est gratuite. Pour des raisons pratiques, on demande aux participants de s’inscrire. Pour cela, un simple mail à un des organisateurs suffit. Le repas de midi sera offert aux participants inscrits avant le 13 mars !

Programme :

10h15 : Accueil avec café
10h50 – 11h40 : Serge Bouc (Amiens)
11h50 – 12h40 : Alain Bruguières (Montpellier)
Repas (à l’Ascotel)
14h00 – 14h50 : Antoine Touzé (Lille)
15h00 – 15h50 : Albert Burroni (Paris 7)
Pause café
16h10 – 17h00 : Alexandre Popoff (Paris), Moreno Andreatta (Paris) et Andrée Ehresmann (Amiens)

Titres :

Bouc : Représentations des ensembles finis et correspondances (résumé).
Bruguières : Hopf monads, Hopf polyads and applications (résumé).
Touzé : Catégories de foncteurs et cup produits en cohomologie des groupes (résumé).
Burroni : Sur un environnement naturel pour définir des structures telles que les “monoidal globular categories” de Batanin, et bien d’autres (résumé).
Popoff, Andreatta et Ehresmann : Approche catégorielle en analyse musicale (résumé).

Participants :
(Par ordre d’inscription, la liste sera régulièrement mise à jour.)
Ivo Dell’Ambrogio
Isar Stubbe
Alexis Virelizier
Alain Bruguières
Antoine Touzé
Andrée Ehresmann
Elisabeth Burroni
Albert Burroni
Jacques Penon
Serge Bouc
Andrea Cesaro
James Huglo
Giulio Calimici
Alexandre Popoff
Moreno Andreatta
Benoit Fresse
Najib Idrissi
Daniel Tanré
Mathieu Klimczak
Elisabeth Vaugelade
Thibault Defourneau
Joost Vercruysse
Roland Cazalis
Jacques Darne
Jean-Pierre Laffineur
Mitchell Buckley
Radu Stancu
John F. Robert

Informations utiles :
Pour venir à Lille :
Plan d’accès
Google maps

Pour dormir à Lille :
Office de Tourisme de Lille

Résumés :

Serge Bouc : Représentations des ensembles finis et correspondances

[travail en commun avec Jacques Thévenaz – E.P.F.L.]

Étant donné un anneau commutatif k, soit $kC$ la catégorie dont les objets sont les ensembles finis, et les morphismes les combinaisons $k$-linéaires de correspondances. Soit $CF_k$ la catégorie des foncteurs de correspondances (sur $k$), i.e. la catégorie abélienne des foncteurs $k$-linéaires de $kC$ vers la catégorie des $k$-modules.

La catégorie $CF_k$ a des propriétés remarquables : lorsque $k$ est noethérien, un sous-foncteur d’un foncteur de type fini est lui-même de type fini. Lorsque $k$ est un corps, les foncteurs de type fini sont caractérisés par le comportement exponentiel de leur dimension, et ce sont exactement les foncteurs de longueur finie. De même, lorsque $k$ est un corps, un foncteur de type fini est projectif si et seulement si il est injectif.

Nous associons un foncteur de correspondances $F_T$ à un treillis fini $T$ quelconque, et cette construction s’étend en un foncteur pleinement fidèle d’une catégorie convenable $kL$ de treillis finis vers la catégorie $CF_k$, qui est compatible à la dualité. Nous montrons aussi que $F_T$ est projectif si et seulement si $T$ est distributif.

Nous associons également un foncteur fondamental $S_E$ à tout ensemble ordonné fini $E$. Cela nous permet de décrire complètement les objets simples de $CF_k$, lorsque $k$ est un corps, et en particulier, de déterminer les dimensions de leurs évaluations. Un sous-produit de cette description est celle de tous les modules simples pour l’algèbre du monoïde des relations sur un ensemble fini. (Retour ↩)

Alain Bruguières : Hopf monads, Hopf polyads and applications

The notion of a Hopf algebra has been generalized to the context of braided monoidal categories in a relatively straightforward way, which leads to the now well-known notion of braided Hopf algebra. In particular, the center of a braided category $B$ can be viewed as the category of modules over a certain braided Hopf algebra in $B$, namely the coend of $B$. In order to make such a description work for a monoidal, non braided category, one must replace braided Hopf algebras with Hopf monads.

Hopf monads appear wherever there is a comonoidal adjunction – in other words, a strong (co) monoidal functor having a left adjoint. In particular, under certain ‘smallness’ conditions one can describe the action of a group $G$ on a monoidal category $C$ in terms of a Hopf monad on $C$; in that case, the category of modules of this Hopf monad is the equivariantization (this was done in a joint paper with S. Natale).

However, in general (without the appropriate smallness conditions) such a monadic description of the equivariantization is not available. Hopf polyads are a generalization of Hopf monads which encompasses also (general) group actions. In a sense, Hopf polyads are “Hopf monads parametrized by a category”.

We will introduce this notion, and explore its relation to group actions, and more generally “category actions”, on monoidal categories: the “fundamental theorem of Hopf polyads” asserts that a faithful right exact Hopf polyad lifts canonically to a category action.

We will give several examples and special cases. For instance, a Hopf category with set of objects $X$ as introduced by Batista, Caenepeel and Vercruysse is a special case of a Hopf polyad, in exactly the same sense as braided Hopf algebras are special cases of Hopf monads – in that case the parameter category of the Hopf polyad has $X$ as set of objects and exactly one morphism between any two objects.

On the other hand, in the non-braided setting, the fundamental theorem of Hopf polyads, applied to the so-called ‘center’ Hopf polyad, asserts that the center of a $G$-graded fusion category is the equivariantization of the center of the degree 1 part under a certain action of G, a result due to Virelizier. Here the ‘fusion category’ is required to have finitely many classes of simples in each degree (and may therefore have infinitely many simples, if $G$ is infinite). (Retour ↩)

Antoine Touzé : Catégories de foncteurs et cup produits en cohomologie des groupes

La cohomologie des groupes classiques de matrices est accessible au calcul à l’aide de catégories de foncteurs. Dans cet exposé, nous expliquerons une nouvelle propriété des cup produits, contre-intuitive si l’on raisonne en termes de représentations de groupes, que l’on peut démontrer à l’aide de l’approche fonctorielle. Cette propriété permet par exemple d’obtenir une nouvelle démonstration du théorème des produits tensoriels de Steinberg, et des nouvelles généralisations de ce théorème clé en théorie des représentations.

Albert Burroni : Sur un environnement naturel pour définir des structures telles que les “monoidal globular categories” de Batanin, et bien d’autres

Dans son article “monoidal globular categories as a natural environment for the theory of the weak n-categories”, Batanin donne une définition correcte de la structure annoncée par son titre. Toutefois, il nous semble qu’il ait hésité à utiliser pleinement le matériel qu’il introduit à cette fin. En analysant les raisons de ce manque apparent, nous avons été amené à étendre le concept de théorie algébrique de Lawvere pour y intégrer de façon naturelle des structures comme celle de Batanin, et bien d’autres. (Retour ↩)

Alexandre Popoff, Moreno Andreatta et Andrée Ehresmann : Approche catégorielle en analyse musicale

L’analyse musicale a développé des outils théoriques qui touchent à plusieurs domaines des mathématiques. En particulier, la théorie transformationnelle de la musique proposée par David Lewin dans les années 1980 est basée sur la théorie des actions de groupes sur des ensembles d’objets musicaux. Les relations entre éléments musicaux sont décrites par les éléments de groupe qui les transforment. En y ajoutant des éléments de théorie des graphes, Klumpenhouwer a introduit une notion de réseau transformationnel (ou K-net), et mis en lumière des relations particulières entre ces réseaux, appelées « isographies de K-nets ». Le but de l’exposé (développé dans [1]) est de montrer comment la théorie des catégories  permet de poser les bases formelles de ces réseaux et de les enrichir en étendant la notion de K-net en celle de poly-K-net (ou PK-net) et celle d’isographie en celle d’homographie.

Formellement un PK-net à valeurs dans une catégorie H (e.g. Sets) consiste en un foncteur R: D -> H (sa forme ‘abstraite’), un foncteur S: C -> H (modélisant son support musical), et un morphisme (F, phi): R -> S de la catégorie Diag(H) des diagrammes de H. Ayant défini la notion d’homographie entre PK-nets de forme R, nous étudierons la catégorie de ces homographies, et caractériserons certaines de ses sous-catégories. Des PK-nets et homographies d’ordre supérieur sont construits par récurrence (en itérant le foncteur Diag).

Parmi les applications concrètes en musique, nous ferons une étude poussée de la structure du groupe des automorphismes de certains foncteurs S vers Sets intervenant comme supports musicaux de PK-nets. Et différentes œuvres (par exemple de Gesualdo, Webern et Schoenberg) seront analysées en y mettant en évidence l’existence de PK-nets homographes ou isographes.

[1] A. Popoff, C. Agon, M. Andreatta & A. Ehresmann, From K-nets to PK-nets: a categorical approach (soumis à “Perspectives in New Music”, 2016).

(Retour ↩)