Intervenant:  Stéphane Zahnd (Univ. Lille)
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Titre: 
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Problèmes de descente galoisienne et existence de points rationnels

 Résumé:
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 Soit k un corps dont on fixe une clôture algébrique K. La théorie de
Galois assure que le sous-corps de K fixé par l'action du groupe de Galois
 G=Gal(K/k) coïncide avec k.

Les problèmes de descente galoisienne arrivent lorsque l'on cherche à
généraliser cette observation, et que l'on s'intéresse à la question
suivante: étant donné un ``objet'' défini sur K, que l'on suppose
isomorphe (dans la catégorie idoine) à tous ses conjugués par l'action
de G, existe-t-il un ``objet'' défini sur k induisant l'objet de départ
sur K?

Dans un premier temps, nous montrerons que cet énoncé vaut lorsque l'on
remplace ``objet'' par hypersurface affine, en utilisant (et en rappelant) 
des arguments cohomologiques classiques (essentiellement le théorème 90 
de Hilbert).

Les choses se compliquent très sensiblement lorsque l'on considère des
objets plus sophistiqués comme les fibrés principaux homogènes (ou
torseurs) sur une variété algébrique X définie sur k. Nous expliquerons
comment le problème de la descente de ces fibrés est fortement lié à
l'existence de points rationnels sur X.