Date : jeudi 7 décembre 2015
Heure : 14h-15h
Lieu : Calais, salle C106
Intervenant : Cyril Chenavier (Univ. Paris Diderot)
Titre : Algèbres de confluence et acyclicité du complexe de Koszul

Résumé : Les algèbres de type Koszul ont été introduites par S.Priddy afin de calculer
l'homologie des algèbres quadratiques (i.e. les algèbres associatives unitaires engendrées
par des générateurs vérifiant des relations homogènes de degré 2). Motivé par le cas des
algèbres d'Artin-Schelter, R.Berger a étendu la notion de koszulité au cas des algèbres
homogènes (les relations vérifiées par les générateurs restent homogènes mais pas
nécessairement de degré 2). R.Berger a de plus prouvé que la notion de koszulité était
caractérisée par le complexe de Koszul: une algèbre (homogène) est de type Koszul si,
et seulement si son complexe de Koszul est acyclique. Enfin, il a énoncé une condition
suffisante de koszulité en termes de confluence: une algèbre (homogène) admettant une
présentation confluente aux bords est de type Koszul si, et seulement si elle satisfait
l'extra-condition. Cette dernière condition est une propriété intrinsèque à l'algèbre
homogène en question. Cependant, le résultat précédent n'est pas constructif dans la
mesure où il ne donne pas d'homotopie contractante explicite du complexe de Koszul.
Notre but est de proposer une telle construction.

La propriété de koszulité sera définie lors de la première partie de l'exposé. Dans
cette première partie on définira également les notions de présentation confluente
aux bords et d'extra-condition. Dans la deuxième partie, on verra que la propriété de
confluence aux bords produit un candidat pour l'homotopie contractante. Ce candidat
est obtenu en étudiant certaines representations des algèbres de confluence. Lorsque
l'extra-condition est vérifiée, il s'avère que ce candidat est effectivement une
homotopie contractante. On expliquera dans la troisième partie de l'exposé comment
on obtient ce résultat.