date: mardi 21 mars, 15h30 lieu : Calais, salle B014 intervenant: Grégory Dumont (Ens ULM) Titre : Etude d’une équation aux dérivées partielles pour la dynamique d’un réseau de neurones. Résumé : Un des enjeux majeurs des neurosciences computationnelles est de comprendre comment les fonctionnalités du cerveau émergent de la dynamique collective des circuits neuronaux. De tels phénomènes d’émergence collective sont au cœur des sujets de recherche des expérimentalistes et des théoriciens. Pour répondre à ces questionnements et mieux saisir le comportement des réseaux de neurones, nous travaillerons sur un modèle macroscopique homogénéisé décrivant l’activité électrique du circuit. Le modèle est construit par application de l’hypothèse des champs moyens à l’évolution stochastique du potentiel membranaire d’une cellule et donne naissance à une équation de transport non locale : ∂_t p(t, v) − γ ∂_v (vp(t,v)) = σ(t) (p(t, v − h) − p(t, v)) + δ(v − v_r)r(t). Dans ce formalisme, la fonction p(t, v) est la densité de probabilité qu’un neurone tiré au hazard dans le réseau ait son potentiel membranaire en v à l’instant t. La fonction source σ(t) donne le taux (taux de Poisson non homogène) d’influx nerveux qu’un neurone reçoit via des connections synaptiques. La fonction r(t) représente le taux d’activité du circuit neuronal. Les paramètres h, v_r et γ sont des caractéristiques électrophysiologiques des cellules. Des conditions initiales et des conditions aux frontières sont enfin ajoutées. Dans ce travail, nous commencerons par discuter le formalisme stochastique à la base de l’équation aux dérivées partielles. A l’aide des équations de Chapman-Kolmogorov, nous construirons des ponts avec le système de von Foester-McKendrick (équation de renouvellement en théorie des probabilités). Nous discuterons ensuite des conditions d’existence de la solution et des conditions d’explosion en temps fini du système. Via des simulations stochastiques de Monte Carlo, nous ferons le lien entre l’explosion en temps fini de la solution et les états de synchronisation collective dans les réseaux de cellules nerveuses.