date: mardi 21 mars, 15h30
lieu : Calais, salle B014

intervenant:  Grégory Dumont (Ens ULM)

Titre :  Etude d’une équation aux dérivées partielles pour la
dynamique d’un réseau de neurones.

Résumé :

Un des enjeux majeurs des neurosciences computationnelles est de
comprendre comment les fonctionnalités du cerveau émergent de la
dynamique collective des circuits neuronaux. De tels phénomènes
d’émergence collective sont au cœur des sujets de recherche des
expérimentalistes et des théoriciens. Pour répondre à ces
questionnements et mieux saisir le comportement des réseaux de
neurones, nous travaillerons sur un modèle macroscopique homogénéisé
décrivant l’activité électrique du circuit. Le modèle est construit
par application de l’hypothèse des champs moyens à l’évolution
stochastique du potentiel membranaire d’une cellule et donne naissance
à une équation de transport non locale :
∂_t p(t, v) − γ ∂_v (vp(t,v)) = σ(t) (p(t, v − h) − p(t, v)) + δ(v − v_r)r(t).

Dans ce formalisme, la fonction p(t, v) est la densité de probabilité qu’un
neurone tiré au hazard dans le réseau ait son potentiel membranaire en
v à l’instant t. La fonction source σ(t) donne le taux (taux de
Poisson non homogène) d’influx nerveux qu’un neurone reçoit via des
connections synaptiques. La fonction r(t) représente le taux
d’activité du circuit neuronal. Les paramètres h, v_r et γ sont des
caractéristiques électrophysiologiques des cellules. Des conditions
initiales et des conditions aux frontières sont enfin ajoutées.  Dans
ce travail, nous commencerons par discuter le formalisme stochastique
à la base de l’équation aux dérivées partielles. A l’aide des
équations de Chapman-Kolmogorov, nous construirons des ponts avec le
système de von Foester-McKendrick (équation de renouvellement en
théorie des probabilités). Nous discuterons ensuite des conditions
d’existence de la solution et des conditions d’explosion en temps fini
du système. Via des simulations stochastiques de Monte Carlo, nous
ferons le lien entre l’explosion en temps fini de la solution et les
états de synchronisation collective dans les réseaux de cellules
nerveuses.