Séminaire Itinérant de Catégories

Lieu: salle 454A au bâtiment Condorcet de l’Université Diderot Paris 7, 10 rue Alice Domon et Léonie Duquet, à Paris).

Organisation: Anatole Khélif (khelif [at] math.univ-paris-diderot.fr), Jean-Pierre Laffineur (jplaf [at] algconseil.com)

Inscription: Veuillez contacter, par e-mail, les organisateurs de ce SIC pour vous inscire. Si vous souhaitez faire un exposé, mentionnez-le dans votre e-mail.

Programme:

10h – Dominique Bourn : “Un aspect structural de la catégorie des Quandles”
10h50 – Maria Manuel Clementino : “On topological semi-abelian algebras: split extensions and their classifiers”
11h40 – Mathieu Duckerts-Antoine : “Groupes fondamentaux et formules de Hopf”
12h45 : déjeuner
14h30 – Anatole Khélif : “Autour de la bi-interprétabilité”
15h20 – Jean-Pierre Laffineur : “Extension du foncteur T aux difféologies”
16h10 – Jacques Penon : “Une classe d’exemples d’infini-catégories faibles au sens de Batanin”

Résumés:

On topological semi-abelian algebras: split extensions and their classifiers, par
Maria Manuel Clementino:
Actions of a group B on a group X correspond bijectively to split extensions of B with kernel X, or to semidirect products of X and B, or to group homomorphisms from B to the group Aut(X) of automorphisms of X. This last property of Aut(X) is usually identified as representability of actions, or classification of split extensions.
In the first part of this talk, using results from [3, 4, 5], we describe categorical split extensions for (topological) semi-abelian algebras as presented in [2]. In the second part of the talk, following [1], we investigate the existence of split extensions classifiers for topological groups and some other algebraic structures.
[1] F. Borceux, M.M. Clementino, A. Montoli, On the representability of actions for topological algebras, Preprint 14-19, Department of Mathematics, University of Coimbra, 2014.
[2] M.M. Clementino, A. Montoli, L. Sousa, Semidirect products of (topological) semi-abelian algebras, J. Pure Appl. Algebra 219 (2015), 183-197.
[3] J.R.A. Gray, N. Martins-Ferreira, On algebraic and more general categories whose split epimorphisms have underlying product projections, Appl. Categorical Structures, available online, DOI 10.1007/s10485-013-9336-5.
[4] E.B. Inyangala, Semidirect products and crossed modules in varieties of right Omega-loops, Theory Appl. Categories 25 (2011), 426-435.
[5] G. Metere, A. Montoli, Semidirect products of internal groupoids, J. Pure Appl. Algebra 214 (2010), 1854-1861.

Groupes fondamentaux et formules de Hopf, par Mathieu Duckerts-Antoine:
En 1988, R. Brown et G. J. Ellis ont établi par des méthodes topologiques des formules de Hopf généralisées pour l’homologie intégrale des groupes. G. Janelidze (1995) fut le premier à remarquer la relation étroite entre la notion de recouvrement en théorie de Galois catégorique et ces descriptions, et dans cette perspective, T. Everaert, M. Gran et T. Van der Linden (2007) ont pu donner des formules similaires pour l’homologie dans les catégories semi-abéliennes avec comme foncteurs de coefficients des réflecteurs de Birkhoff. Il s’avère que ces objets d’homologie coïncident précisément avec certains groupes fondamentaux comme définis en théorie de Galois. Dans ma thèse, j’ai suivi cette dernière approche de l’homologie et montré que l’on pouvait à la fois travailler avec une plus large classe de réflecteurs (ceux qui préservent les produits fibrés des epi scindés le long d’épi réguliers) et dans un contexte plus large (celui des catégories homologiques munies d’un bon système de factorisation). Depuis lors, j’ai pu éclaircir et améliorer certains points de mon travail. Par exemple, j’ai pu démontrer que le n-ième foncteur groupe fondamental est en fait une extension de Kan ponctuelle assez particulière et trouver comme résultat (et non plus comme définition) qu’il peut être décrit en utilisant des n-présentations projectives, tout ceci tenant dans le contexte plus général des catégories homologiques où tout épi régulier est de descente effective. Durant mon exposé, je présenterai ces nouveaux travaux.

Autour de la bi-interprétabilité, par Anatole Khelif:
Nous disons que deux structures sont biinterprétables si elles s’interprètent l’une dans l’autre et si la composition de ces interprétations est l’identité. La biinterprétabilité a notamment été étudiée par Oleg Belegradek. L’interprétabilité réciproque de deux structures ne signifie pas forcément la biinterprétabilité. Par exemple Z et UT3(Z) ne sont pas biinterprétables. Dans un travail récent avec Scanlon et Aschenbrenner, nous avons prouvé que tout anneau commutatif intègre de type fini est biinterprétable avec l’arithmétique du premier ordre. Plus généralement, la non biinterprétabilité peut être prouvée par une analyse d’automorphismes de modèles. S’il reste du temps nous présenterons brièvement le lien avec les esquisses pour la logique infinitaire et les topos classifiants pour les théories géométriques.

Extension du foncteur T aux difféologies, par Jean-Pierre Laffineur:
Les Espaces difféologiques de Souriau et Iglesias-Zemmour sont construits par une modélisation des applications lisses entre ouverts des espaces réels. Nous rappelons dans un premier temps ce qu’est le foncteur T(*) sur les ouverts des espaces réels puis en utilisant une construction standard de la théorie des esquisses, le co-modèle canonique, nous montrons :
1-) que tout espace difféologique est limite inductive de ses plaques (résultat déjà connu de Enxin WU)
2-) que le foncteur T, défini sur les ouverts des espaces réels, s’étend à toute la catégorie des espaces difféologiques.
(*) On retrouve la définition de ce foncteur archi classique par exemple chez R. Godement ou W. Bertram

Une classe d’exemples d’infini-catégories faibles au sens de Batanin, par Jacques Penon:
Après avoir caractérisé la monade B de Batanin de façon syntaxique, comme nous l’avions fait pour celle des prolixes (∗), on montre que toute pseudo-algèbre sur la monade $\overline{\omega}$ des $\infty$-catégories strictes (prolongée à la 2-catégorie des catégories globulaires) qui est stable (∗∗) peut être canoniquement munie d’une structure d’algèbre sur $\overline{B}$ (i.e. le prolongement de $B$ à la 2-catégorie des catégories globulaires).
(∗) Voir l’article de J.PENON : Approche polygraphique des $\infty$-catégories non strictes. Paru aux : Cahiers de Topologie et Géom. Diff. Cat. Volume XL-1 (1999).
(∗∗) Une catégorie globulaire $\mathcal{C}$ est dite stable si pour tout $p\in\mathbb{N}$ le foncteur $(s,b)\colon \mathcal{C}_{p+1}\to P\mathcal{C}_p$ est iso-fibrant (où $P\mathcal{C}_p$ désigne la catégorie des couples de $p$-cellules de $\mathcal{C}$ parallèles et où “$s$” et “$b$” sont les foncteurs source et but. Enfin iso-fibrant signifie qu’on peut relever les isomorphismes sur chaque objet).