Séminaire Itinérant de Catégories

Organisation: A. Ehresmann et M. Gran

Lieu: Logis du Roy, Université de Picardie, Amiens

Participation: 
Pour des raisons pratiques, les participants sont priés de s’inscrire en envoyant un e-mail à Andrée Ehresmann, ehres@u-picardie.fr. Le repas de midi sera offert aux participants inscrits avant le 30 septembre 2016.

Programme:
09H30 Accueil – Café
10H00 Radu Stancu (Amiens)
10H45 Tim Porter (Bangor)
11H45 Pause
12H00 René Guitart (Paris)
13H00 Repas
14H30 Marino Gran (Louvain-la-Neuve)
15H15 Maria Manuel Clementino (Coimbra)
16H00 Pause
16H15 Diana Rodelo (Faro)

Participants:
Andrée Ehresmann (Amiens)
Marino Gran (Louvain-la-Neuve)
Jean-Pierre Laffineur (Paris)
Maria Manuel Clementino (Coimbra)
Pierre-Alain Jacqmin (Louvain-la-Neuve)
Alan Cigoli (Louvain-la-Neuve)
Tim Van der Linden (Louvain-la-Neuve)
Diana Rodelo (Algarve)
Isar Stubbe (Calais)
Ivo Dell’Ambriogio (Lille)
Vincent Robin (Compiègne)
Elisabeth Burroni (Paris)
Albert Burroni (Paris)
Jacques Penon (Paris)
Tim Porter (Bangor)
Elisabeth Vaugelade (Amiens)
Dominique Bourn (Calais)
Elena Sendroiu
John Robert (Bruxelles)
Mike Wright (Fougères)

Résumés:

Maria Manuel Clementino: Simple reflections revisited
We present a notion of simple monad that generalises the notion of simple reflection of Cassidy-Hébert-Kelly [1] to order-enriched categories, and study the factorisations they induce. (This is part of a joint project with Ignacio Lopéz Franco and it is presented in [2, 3].)
References 

[1] C. Cassidy, M. Hébert, G.M. Kelly, Reflective subcategories, localizations and factorization systems, J. Austral. Math. Soc. (Series A) 38 (1985), 287-329.
[2] M.M. Clementino, I. Lopéz Franco, Lax orthogonal factorisation systems, Adv. Math. 302 (2016), 458-528.

[3] M.M. Clementino, I. Lopéz Franco, Lax orthogonal factorisations in Topology, in preparation.

Marino Gran: Opérateurs de fermeture et extensions centrales dans la catégorie des quandles (travail en collaboration avec Valérian Even et Andrea Montoli)
Dans cet exposé nous allons présenter quelques résultats récents concernant les propriétés catégoriques des quandles. Ces structures algébriques forment une variété d’algèbres universelles contenant la variété des quandles triviaux comme sous-variété. On donnera d’abord une description de l’opérateur de fermeture c associé à la réflexion des quandles dans la sous-variété des quandles triviaux. On montrera que les quandles algébriquement connexes sont précisément les objets c-connexes pour cette fermeture, et que les quandles triviaux sont les objets c-séparés. On présentera aussi une caractérisation des extensions centrales de quandles relatives à la réflexion dans la sous-variété des quandles symétriques abéliens.
Bibliographie
[1] D. Bourn, A structural aspect of the category of quandles, J. Knot Theory Ramifications 24, 2015, 1550060.
[2] V. Even et M. Gran, On factorization systems for surjective quandle homomorphisms, J. Knot Theory Ramifications 23, 2014, 1450060.
[3] V. Even et M. Gran, Closure operators in the variety of quandles, Topology and its Applications, 200, 2016, 237-250.
[4] V. Even, M. Gran et A. Montoli, A characterization of central extensions in the variety of quandles, Theory and Applications of Categories, Vol. 31, 2016, 201-216.

René Guitart: Axiomes et évaluations pour les variétés booléennes des logiques à $n$ valeurs
Les structures des logiques à $n$ valeurs peuvent être analysées comme des variétés booléennes, une variété booléenne étant un ensemble muni de plusieurs structures d’algèbre de Boole, ces structures étant isomorphes et échangeables par transport via des bijections. Nous expliquons comment ces structures peuvent être axiomatisées et évaluées en termes d’une unique structure booléenne équipée de surcroît de négations transportées ou de négations locales. Dans le cas $n = 4$, des calculs explicites dans le corps de Galois $GF(4)$ sont effectués, montrant notamment la différence entre le transport bijectif et la localisation. Nous montrons que l’accent sur les négations permet une approche économique et naturellement utilisable pour l’analyse des discours.

Tim Porter: Steps towards a “directed homotopy hypothesis”
$(\infty,1)$-categories, directed spaces: an overview of some techniques and some questions.
It is now almost “classical” that $\infty$-groupoids correspond to “spaces” in some sense and encode certain aspects of “rewriting” for (low dimensional) categories. We will review some of the models for this. It has more recently been suggested that $(\infty,1)$-categories might correspond in a similar way to directed spaces. We will examine various aspects hopefully looking at the same time for any means of applying insights from this study to the study and application of directed spaces.

Diana Rodelo: Beck-Chevalley condition and Goursat categories
We characterise regular Goursat categories through a specific stability property of regular epimorphisms with respect to pullbacks. Under the assumption of the existence of some pushouts this property can be also expressed as a restricted Beck-Chevalley condition, with respect to the fibration of points, for a special class of commutative squares. In the case of varieties of universal algebras these results give, in particular,
a structural explanation of the existence of the ternary operations characterising 3-permutable varieties
of universal algebras. We then prove that the reflector to any (regular epi)-reflective subcategory of a regular Goursat category preserves pullbacks of split epimorphisms. This implies that the so-called internal 
Galois pregroupoid of an extension is an internal groupoid.

Radu Stancu: Paramétrage des foncteurs $k$-linéaires simples
Soit $k$ un corps. Tout foncteur $k$-linéaire simple, d’une catégorie $C$ dans les $k$-espaces vectoriels, peut être engendré à partir d’un objet $X$ de $C$ et d’un $kC(X,X)$-module simple $V$. Cependant il y a plusieurs paires $(X,V)$ qui engendrent le même foncteur simple. Dans le cas des foncteurs à bi-ensembles, Serge Bouc donne un paramétrage en considérant un quotient de l’algèbre $kC(X,X)$ et l’ordre naturel sur les groupes. Des méthodes de même type n’ont pas de succès en général, par exemple dans le cas des foncteurs à bi-ensembles de Green, comme montré par Nadia Romero. Dans cet expose je vais présenter un travail en collaboration avec Sejong Park, donnant un paramétrage général des foncteurs pour toute catégorie k-linéaire essentiellement petite. Ce paramétrage est donné en terme des classes d’isomorphisme d’objets $(X,e)$ de la complétion idempotente de la catégorie, avec $e$ un idempotent primitif.