Séminaire Itinérant de Catégories

Organisation: A. Ehresmann, E. Vaugelade

Lieu: Université de Picardie à Amiens, salle à préciser

Programme:

9h15 Accueil

9h45-10h30  Andrea MONTOLI (Milano, Italie): “Une generalisation du théorème de Schreier-MacLane”
On donne une version intrinsèque du théorème de Schreier-Mac Lane, connu classiquement pour les groupes : sur l’ensemble ${\sf Ext}_{\varphi}(Y, K)$ des classes d’isomorphisme d’extensions avec noyau abstrait $\varphi\colon Y\to{\sf Aut}(K)/{\sf Int}(K)$ il y a une action simplement transitive du groupe ${\sf Ext}_{\varphi’}(Y, ZK)$, où $ZK$ est le centre de $K$ et $\varphi’$ est obtenu à partir de $\varphi$ par restriction. D. Bourn a montré que ce théorème est valable dans chaque catégorie semi-abélienne avec split extension classifier. Nous étendons ce résultat aux catégories action accessible qui comprennent les catégories des anneaux, des algèbres associatives, des algèbres de Leibniz et de Poisson et les dialgèbres associatives (selon J.L. Loday). (Travail en collaboration avec Dominique Bourn)

10h35-11h20  Lurdes SOUSA (Viseu, Portugal): “Reflective subcategories characterized via  injectivity”
Il est bien connu que les sous-catégories pleines et réflexives d’une catégorie $X$ sont essentiellement les catégories des algèbres d’une monade idempotente $T$ sur $X$, et, de plus, les objets de $X$ qui “appartiennent” à $X^T$ sont caracterisés par orthogonalité. Dans le cadre des catégories enrichies sur la catégorie des ensembles partiellement ordonnés, je vais présenter une famille de sous-catégories réflexives et une notion convenable d’injectivité qui, avec la notion de monade du type Kock-Zöberlein, permettent d’obtenir une généralisation de plusieurs propriétés concernant les sous-catégories réflexives et l’orthogonalité.

11h25-12h10  Isar STUBBE (Calais): “Cauchy-complétion et symétrie”
Pour une catégorie $A$ enrichie dans un quantaloïde $Q$, on peut calculer sa Cauchy-complétion $A_{\sf cc}$, mais aussi son symétrisé $A_{\sf s}$. Pour les espaces métriques généralisés (B. Lawvere), i.e. les catégories enrichies dans le quantale des réels positifs, ces deux procédés sont “compatibles” : la Cauchy- complétion d’un espace métrique symétrique est encore symétrique. Mais ce n’est pas vrai en général. Dans cet exposé je vais montrer une condition élémentaire sur $Q$ qui assure la compatiblité de Cauchy- complétion et symétrie des $Q$-catégories. Cette condition est satisfaite par un bon nombre d’exemples, dont le quantale des réels positifs, mais aussi par tout quantaloide associé à une topologie de Grothendieck (B. Walters). Cela a son importance pour la théorie des “faisceaux sur un quantaloide”. (Travail en collaboration avec H. Heymans)

Déjeuner

14h-14h45 Marie BJERRUM (Cambridge,UK): “La connection de Galois entre limites inductives et projectives par commutation dans $\sf Ens$”
It is a well established fact that filtered colimits commute with finite limits in the category of sets and a few articles treat other mixed interchange properties in $\sf Set$ such as finite products commuting with so-called sifted colimits, and finite connected limits commuting with pseudofiltered colimits, etc. Abstractly we can determine necessary and sufficient conditions for a small colimit to commute with a given small limit in the category of sets (work by C. Lair and F. Foltz in “Diagrammes”). But it is not immediate to subtract from this any classification of the concrete limits and colimits that commute in $\sf Set$. However by looking at special cases we get a more complete picture of this Galois correspondence between the classes of limits and colimits that commute, even if we don’t yet have complete transparency. (This is PhD-work in progress.)

14h50-15h35  Zurab JANELIDZE (Stellenbosch, Afrique du Sud): “Algebraic aspects of categories with finite colimits”
In an algebraic category $C$, elements of the free algebra with $n$ generators (which is the same as an $n$-fold copower $nX$ of the free algebra $X$ with one generator) represent terms of the algebraic theory corresponding to $C$. In a general category $C$ there are no “free algebras” and there is no “algebraic theory”, but we could still consider generalized elements of an $n$-fold copower $nX$ of an object $X$ (provided the copower exists), as kind of “terms at $X$ “. Each such term $t\colon T\to nX$ defines in a canonical way an $n$-ary operation on generalized elements of any object $A$, having domain $X$; moreover, any morphism $f\colon A\to B$ in the category preserves such operations. This reveals that there is a certain algebraic “syntax” associated to any category $C$ with finite colimits. We show that this “syntax” is strong enough to provide a purely algebraic description (in the style of Mal’tsev conditions of Universal Algebra) of protomodularity and other related exactness properties studied in modern Categorical Algebra. (This talk is based on an on-going joint work with Dominique Bourn)

Café

15h45-16h30  Radu STANCU (Amiens): “Sur le centre gradué d’une catégorie triangulée”
Soit $k$ un anneau commutatif. Le centre gradué d’une catégorie $k$-linéaire triangulée $(C, \Sigma)$ sur $k$ est un $k$-module gradué ayant comme composante en degré $n$ l’ensemble des transformations naturelles $k$-linéaires de l’identité dans $\Sigma^n$ qui commutent au signe près avec $\Sigma$ : $\Sigma\varphi = (-1)n\varphi\Sigma$. La catégorie stable des modules de type fini sur une $k$-algèbre auto-injective, de dimension finie est une catégorie triangulée ayant comme foncteur de décalage l’inverse de l’opérateur de Heller. Son centre gradué a été calculé par Radha Kessar et Markus Linckelmann dans le cas des algèbres d’arbres de Brauer (qui inclut le cas des algèbres des $p$-groupes cycliques en caractéristique $p$, par ailleurs traité indépendamment par Henning Krause et Yu Ye). Le but de cet exposé est de décrire les propriétés du centre gradué de la catégorie stable d’un $p$- groupe fini et de montrer que, pour tout $p$-groupe $P$ de rang au moins $2$ et tout corps algébriquement clos $k$ de caractéristique $p$, le centre gradué de la catégorie stable des $kP$-modules de type fini est de dimension infinie en degrés impairs si $p$ est impair et en tout degré si $p = 2$. La preuve se base sur la construction des éléments du centre gradué en dimension $-1$ en partant des suites presque scindées de Auslander-Reiten. (Ce travail est fait en collaboration avec Markus Linckelmann)

16h35-17h20  Alan CIGOLI (Milano, Italie): “Centrality and internal actions”
Un homomorphisme surjectif $f\colon A\to B$ de groupes est appelé “extension centrale” lorsque l’une des conditions équivalentes suivantes est verifiée: (1) son noyau $K$ est contenu dans le centre de $A$, (2) le commutateur $[K, A] = 0$, (3) l’action de conjugaison de $K$ sur $A$ est triviale. On donne une interprétation catégorique pour chacune de ces conditions en montrant que leur équivalence est également valable dans des contextes beaucoup plus généraux.

Photos: les photos envoyées par Pierre Damphousse!