Séminaire Itinérant de Catégories

Lieu: Labo de math de l’Université du Littoral à Calais (plan d’acces), salle B.014; diffusion par Zoom.

Organisation: David Chataur, Andrée Ehresmann, Isar Stubbe (avec l’aide de Isabelle Buchard et Gaëlle Compiègne, et le soutien financier du LMPA et de la FMHF)

Inscription: La participation au séminaire est gratuite. L’inscription se fait par simple e-mail à Isar Stubbe (isar.stubbe[at]univ-littoral.fr). Merci d’indiquer s’il s’agit d’une participation sur place ou par visioconférence. Le repas de midi et les pauses café seront offerts aux participants sur place inscrits avant le premier octobre; le lien de la visioconférence sera envoyé aux participants à distance.

Programme :
10h00 – accueil avec café
10h30 – A. Duvieusart
11h20 – P. Catoire
12h10 – J. Penon
13h00 – repas et café
14h30 – S. Douteau
15h20 – S. Mattenet
16h10 – A. Tenorio
17h00 – fin

Participants (par ordre d’inscription; mis à jour au fur et à mesure):
Isar Stubbe
Andrée Ehresmann (visio)
Sylvain Douteau
Sébastien Mattenet
Pierre Catoire
Ana Tenorio (visio)
Arnaud Duvieusart (visio)
Jacques Darné
Jacques Penon
Maxime Culot (visio)
Nadja Enger (visio)
Marino Gran
Philippe Gaucher (visio)
René Guitart (visio)
Elisabeth Vaugelade (visio)
Enrico Vitale (visio)
Daniel Tanré (visio)
Nicola Carissimi
Dominique Bourn (visio)
Théo Deturck
Matthew Jackson
Jérôme Milot
Julia Ramos Gonzalez (visio)
Richard Mijoule (visio)
Bo Shan Deval (visio)
Ivo Dell’Ambrogio (visio)
Serge Bouc (visio)
David Chataur (visio)
Florentin Waligorski (visio)

Orateurs et titres/résumés :

Pierre Catoire (Calais) : Structure Tridendriforme, Arbres de Schröder et algèbre de Hopf
Les concepts d’algèbres dendriformes, respectivement tridendriformes décrivent l’action de certains éléments du groupe symétrique appelés les battages et respectivement les battages contractants sur l’ensemble des mots dont les lettres sont des éléments d’un alphabet, respectivement d’un monoïde. Un lien entre les algèbres dendriformes et tridendriformes sera donné. Ces algèbres de mots satisfont certains axiomes mais elles ne sont pas dites libres, cela signifie qu’elles vérifient des propriétés supplémentaires comme la commutativité. Dans cet exposé, nous allons décrire l’algèbre tridendriforme libre. Cette dernière sera décrite par des arbres planaires (pas forcément binaires), dits arbres de Schröder. Nous décrirons la structure d’algèbre tridendriforme sur ces arbres de manière non-récursive avant de construire un coproduit sur celle-ci qui en fera une bigèbre dite $(3,2)$-dendriforme graduée par le nombre de feuilles. Une fois ceci établi, nous étudierons cette algèbre de Hopf : dualité, quotients, dimensions, étude des primitifs…

Sylvain Douteau (Paris) : Théories de l’homotopie stratifiée, via les catégories modèles et les catégories infinies
Motivée par la géométrie, la notion d’espace stratifié est élémentaire : un espace stratifié est simplement la donnée d’un espace topologique $X$, et d’une application continue vers un poset $P$, et un morphisme entre espaces stratifiés est un carré commutatif. Dans ce contexte, pour définir une théorie de l’homotopie pour les espaces stratifiés, il est naturel de travailler à poset fixé. Par analogie avec la théorie de l’homotopie des espaces, on construit deux catégories modèles Quillen équivalente. Une catégorie d’espaces topologiques stratifiés au dessus de $P$, et une d’ensemble simpliciaux stratifiés au dessus de $P$. En utilisant la notion de Bifibration de Quillen, on peut recoller ces catégories modèles pour obtenir deux descriptions de la théorie de l’homotopie stratifiée, la catégorie modèle des espaces stratifiés, et celle des ensembles simpliciaux stratifiés. Mais, ces deux catégories modèles ne sont plus reliés par une adjonction de Quillen. Pourtant, on peut montrer que ces théories homotopiques sont équivalentes, en passant dans le langage des catégories infinies.

Arnaud Duvieusart (Milan) : Produit semi-direct ternaire dans les catégories semi-abéliennes
Le lien entre les notions d’épimorphismes scindés, produit semi-direct et action internes est l’un des aspects importants de la théorie des catégories semi-abéliennes. Dans le cas des groupes ou des algèbres de Lie, une construction de produit semi-direct d’une suite de $n$ objets a été introduite par Carrasco et Cegarra, basée sur un système d’actions et de certaines fonctions entre les objets donnés. Dans cet exposé, nous étendons la notion de produit semi-direct ternaire aux catégories semi-abéliennes, et introduisons la structure nécessaire à leur construction. Un intérêt particulier sera accordé aux cas des catégories algébriquement cohérentes et localement algébriquement cartésiennes fermées (LACC).

Sébastien Mattenet (Louvain-la-Neuve) : Un point de vue catégorique du théorème réciproque de Lyapunov
Dans l’étude de la stabilité de systèmes dynamiques, Lyapunov a introduit une notion d’énergie (appelée fonction de Lyapunov) et une notion d’équilibre (de Lyapunov) qui sont équivalentes. Ces notions se généralisent à une grande variété de types de système dynamique et ces notions restent équivalentes. Les preuves de cette équivalence sont techniques et il n’est pas clair que l’équivalence se maintienne d’un contexte à un autre. Dans cet exposé, après avoir introduit les systèmes dynamiques, j’introduis la notion de morphisme de sous-niveau qui me permet de réécrire les définitions de Lyapunov en termes catégoriques. L’équivalence entre les fonctions de Lyapunov et les équilibres est ensuite démontrée et expliquée.

Jacques Penon (Paris) : Une généralisation du Lemme de Yoneda
Lors de notre conférence de 2019 à Louvain-la-Neuve nous avions généralisé, entre autre, les catégories enrichies sur une catégorie monoïdale $V$. Généralisation (due à René Guitart) que nous avions appelée catégorie mutante (sur $V$) et c’est dans ce cadre que nous proposons une version du Lemme de Yoneda qui étend celle existante pour les catégories enrichies. La seule hypothèse du cas enrichi que nous conservons est le caractère symétrique de la catégorie monoïdale $V$. Pour le reste (comme le fait d’être fermée et d’être complète) nous pouvons nous en passer.

Ana Luiza Tenorio (Sao Paolo) : $Q$-$\mathsf{Sets}$ and $\mathsf{Sh}(Q)$ for a non-cartesian topos theory
In topos theory, given a locale $L$, two important topos are the category of $L$-valued sets – $L$-$\mathsf{Sets}$ – and the category of sheaves on $L$ – $\mathsf{Sh}(L)$. Moreover, those categories are equivalent. In this talk, we propose a generalization of such concepts by replacing locales with a non-idempotent generalization, the semicartesian quantales $Q$, so that the resulting categories will not be a topos.
We will focus on the study of $\mathsf{Sh}(Q)$, where the approach is simple: we define sheaves using the standard equalizer diagram, and covers are given by arbitrary supremum, but we place the quantalic multiplication whenever we would set the infimum. Such simplicity yields a category that shares similar categorical properties with $\mathsf{Sh}(L)$, but it is not a Grothendieck topos nor an elementary topos.
The goal of the project is to develop an extension of elementary topos theory, including the logical aspects, by identifying its internal logic and the algebra-geometric aspects by developing a cohomology theory better suited for $\mathsf{Sh}(Q)$.