Séminaire du 18 octobre 2024 à Paris

Lieu : salle 105 à l’Espace Olympe de Gouges, 1er étage, 8 rue Albert Einstein, 75013 Paris, Université Paris-Diderot.

Organisation : Anatole Khélif (organisateur en chef); comité scientifique : David Chataur, Andrée Ehresmann, Marino Gran, René Guitart, Camell Kachour, Isar Stubbe

Inscription : Si vous souhaitez participer à ce SIC, inscrivez-vous par mail à Isar Stubbe (isar.stubbe [at] univ-littoral.fr) ou un des autres organisateurs; la participation est gratuite. Pour le repas de midi, une réservation sera faite à l’Indiana Café (mais chaque participant devra payer son propre repas).

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Meeting ID: 927 0407 3427
Passcode: 028371

Programme :
09h30 : accueil
10h00 : Paul-André Melliès
10h50 : pause
11h00 : Tim Van der Linden
11h50 : Nadja Egner
12h30 : repas
14h30 : Bruno Kahn
15h20 : pause
15h30 : Thiago Alexandre
16h20 : Jacques Penon
17h10 : fin

Titres et résumés :

Thiago Alexandre : Topological Derivators
The theory of derivators was originally developed by Grothendieck with high inspiration in topos cohomology. In a letter sent to Thomason, where he explains the main ideas and motivations guiding the formal reaosining of derivators, Grothendieck also remarks that those are Morita-invariant. This means that derivators actually depend only on the topoi of presheaves associated to small categories. This observation suggests that it may be possible to extend any derivator to the entire 2-category of topoi and geometric morphisms between them. Grothendieck speculates that such an extension is always possible and essentially unique. In this case, every derivator defined over small categories would be coming from a topological derivator defined over all topoi. However, despite these considerations, a theory of derivators over topoi has not yet been developed. To address this gap, I am currently developing a theory of topological derivators. These derivators, defined on the 2-category of topoi, aim to provide answers to Grothendieck’s conjecture. Beyond applications in geometry, the theory of topological derivators also offers a potential framework to connect categorical logic and homotopical algebra. In my talk, I would like to present the theory of topological derivators and some of its main results until now, including examples, some techiniques to construct topological derivators, and how topological derivators are related with the homotopy theory of topoi.

Nadja Egner : Groupoïdes doubles et 2-groupoïdes dans les catégories régulières de Mal’tsev.
Si $C$ est une catégorie régulière de Mal’tsev, alors les catégories $Grpd(C)$ et $Grpd^2(C)$ des groupoïdes et des groupoïdes doubles internes dans $C$ le sont aussi. Nous montrons que 2-$Grpd(C)$ est une sous-catégorie réflexive de $Grpd^2(C)$ dès que $C$ est une catégorie régulière de Mal’tsev finiment cocomplète, et nous donnons une description explicite de la réflexion. De plus, 2-$Grpd(C)$ est stable par sous-objets et par quotients dans $Grpd^2(C)$. Puisque 2-$Grpd(C)$ est aussi co-réflexive dans $Grpd^2(C)$, cela nous permet d’utiliser les résultats de Marino Gran et James R. A. Gray pour montrer que, si $C$ est une catégorie semi-abélienne satisfaisant des propriétés supplémentaires, tout objet $X$ de 2-$Grpd(C)$ a ses actions représentables, c’est-à-dire le foncteur $Act(-,X)$, qui envoie tout objet $B$ de 2-$Grpd(C)$ sur l’ensemble des actions de $B$ sur $X$, est représentable, dès que tout objet de $C$ a ses actions représentables.

Bruno Kahn : Descente galoisienne pour les catégories motiviques
La catégorie des motifs purs de Grothendieck sur un corps $k$ pour une relation d’équivalence adéquate fixée définit une catégorie fibrée sur les extensions de $k$ quand on fait varier ce dernier. Cette catégorie est un champ pour la topologie étale, pourvu que les coefficients soient des $\mathbf{Q}$-algèbres; la preuve en est facile et se généralise à toute catégorie additive fibrée sur le classifiant d’un groupe profini qui satisfait un “formalisme des deux opérations”. Cela s’applique à d’autres théories motiviques généralisant celle de Grothendieck (par exemple, celle de Nori). L’exposé expliquera cela, ainsi qu’une suite exacte de descente pour des groupes tannakiens dans le cas où la théorie motivique est tannakienne.

Paul-André Melliès : The rabbit calculus: convolution products on double categories and categorification of rule algebra

Jacques Penon : Caractérisation des catégories enrichies dans $PSh(V)$.
On reprend et on prolonge les résultats de René Guitart dans [1] (à la suite des travaux de G.Wood dans [2]). On établit l’équivalence entre la 2-catégorie des catégories enrichies dans $PSh(V)$ (la catégorie des préfaisceaux sur $V$, munie d’une structure monoïdale prolongeant celle de $V$) et la 2-catégorie des catégories mutantes sur $V$ (voir [3]) (encore appelées bicatégories $V$-graduées dans [1]).
[1] Tenseurs et machines, Cahiers de Top. et Géom. Diff. (1980) p. 5-62.
[2] Indicial methods for relative categories, Thesis, Dalhousie Univ. Halifax (1978).
[3] L’enrichissement et ses différents points de vue (Partie II), Cahiers de Top. et Géom. Diff. (à paraître).

Tim Van der Linden : Catégories di-exactes
Le but de cet exposé est d’introduire les catégories di-exactes [3], qui sont définies par un système d’axiomes simple capturant les aspects auto-duaux des catégories semi-abéliennes [2,1]. Une catégorie homologique [1] est Barr-exacte (donc semi-abélienne) si et seulement si elle est di-exacte. Nous expliquons que certains lemmes de diagrammes classiques, tels que le lemme du serpent, sont valides dans les catégories di-exactes. Nous donnons un aperçu des exemples et des liens avec d’autres contextes.
[1] F. Borceux and D. Bourn, Mal’cev, protomodular, homological and semi-abelian categories,
Math. Appl., vol. 566, Kluwer Acad. Publ., 2004
[2] G. Janelidze, L. Márki and W. Tholen, Semi-abelian categories, Journal of Pure and Applied
Algebra 168 (2002), no. 2, 367–386
[3] G. Peschke and T. Van der Linden, A Homological View of Categorical Algebra, arXiv:2404.15896

Participants inscrits (ordre d’inscription; (*) = par Zoom) :
Anatole Khélif (Paris)
Andrée Ehresmann* (Amiens)
Camell Kachour (Paris)
Marino Gran (Louvain-la-Neuve)
Isar Stubbe (Calais)
Tim Van der Linden (Louvain-la-Neuve)
Nadja Egner (Louvain-la-Neuve)
Jacques Penon (Paris)
Paul-André Melliès (Paris)
Albert Burroni (Paris)
Elisabeth Burroni (Paris)
Thiago Alexandre (Paris, Sao Paulo)
René Guitart* (Nantes)
Bruno Kahn (Paris)
Florent Afsa (Louvain-la-Neuve)
Matthew Jackson (Lille)
Moana Jubert (Paris)
Marine Cases (Paris)
Maria Bevilacqua (Louvain-la-Neuve)
Elisabeth Vaugelade (Paris)
Jean-Piere Laffineur* (Paris/Aix-en-Provence)
Uli Fahrenberg (Rennes)
Florentin Waligorski (Paris)
Dominique Bourn (Calais)
Jacques Darné (Amiens)
Axel Osmond (Paris)
Tom Hirschowitz* (Chambéry)