Logis du Roy<\/a>, Universit\u00e9 de Picardie Jules Verne, Amiens<\/p>\nParticipation: Pour des raisons pratiques, les participants sont pri\u00e9s de s’inscrire en envoyant un e-mail \u00e0 Andr\u00e9e Ehresmann (ehres[at]u-picardie.fr). Le repas de midi (pris sur place) sera offert aux participants inscrits avant fin d\u00e9cembre 2019.<\/p>\n
Programme:
\n09h30 Caf\u00e9 de bienvenue
\n10h00\u00a0Arnaud Duvieusart, Groupo\u00efdes fondamentaux d\u2019objets simpliciaux dans les cat\u00e9gories de Mal’tsev
\n10h45\u00a0Dominique Bourn, Mal’tsev and Lawvere functors
\n11h30 Pause
\n11h45 Albert Burroni, Syst\u00e8mes versus Structures (pour une Informatique Fondamentale)
\n12h30 D\u00e9jeuner
\n14h30 Corentin Vienne, Caract\u00e9risation des alg\u00e8bres de Lie via la repr\u00e9sentabilit\u00e9 des actions
\n15h15 Yann Palu, Complexe platonique et cat\u00e9gories extriangul\u00e9es
\n16h00 Pause
\n16h20 Ren\u00e9 Guitart, Cat\u00e9gories et mono\u00efdes complets <\/p>\n
Participants (ordre d’inscription):
\nAndr\u00e9e Ehresmann (Amiens)
\nDavid Chataur (Amiens)
\nIsar Stubbe (Calais)
\nMarino Gran (Louvain-la-Neuve)
\nTim van der Linden (Louvain-la-Neuve)
\nYann Palu (Amiens)
\nCorentin Vienne (Louvain-la-Neuve)
\nArnaud Duvieusard (Louvain-la-Neuve)
\nAlbert Burroni (Paris)
\nElisabeth Burroni (Paris)
\nRen\u00e9 Guitart (Paris)
\nEvelyne Barbin (Nantes)
\nJacques Penon (Paris)
\nAlexis Virelizier (Lille)
\nDominique Bourn (Calais)
\nS\u00e9bastien Mattenet (Louvain-la-Neuve)
\nArij Benkhadra (Calais)
\nAline Michel (Louvain-la-Neuve)
\nFlorence Sterck (Louvain-la-Neuve)
\nFran\u00e7ois Renaud (Louvain-la-Neuve)
\nAur\u00e9lien Djament (Lille)
\nSerge Bouc (Amiens)
\nFran\u00e7ois Renaud (Louvain-la-Neuve)
\nElena Sendroiu (Paris)
\nSt\u00e9phane Dugowson (Paris)<\/p>\n
R\u00e9sum\u00e9s:
\nDominique Bourn : Mal’tsev and Lawvere functors
\nA Mal’tsev category $\\mathcal{C}$ is a finitely complete category in which any reflexive relation is an equivalence relation (Carboni, Lambek, Peddicchio), a naturally Mal’tsev one is a finitely complete category satisfying the Lawvere Condition: namely, any reflexive graph is endowed with a unique groupoid structure (Johnstone). We investigate, at the level of functors, the effect of definitions mimicking those of Mal’tsev and naturally Mal’tsev categories : a functor $U\\colon\\mathcal{C}\\to\\mathcal{D}$ is said to be a Lawvere functor when it is left exact and reflects the groupoid structures in $\\mathcal{D}$ from the reflexive graph ones in $\\mathcal{C}$; this same functor $U$ is said to be a Mal’tsev one when this last property only holds for the reflexive relations in $\\mathcal{C}$. We give many examples and then show that these functorial notions give rise to exactly the same kind of characterizations as those of the associated categories. We give, among other, an application concerning the characterization of the Smith $=$ Huq condition.<\/p>\n
Albert Burroni: Syst\u00e8mes versus Structures (pour une Informatique Fondamentale)
\nLes nombreuses “machines \u00e0 calculer formelles” introduites en Informatique Th\u00e9orique, les grammaires, les automates finis, les automates \u00e0 piles, les machines de Turing, les r\u00e9seaux de Petri, … peuvent aussi \u00eatre qualifi\u00e9es de “syst\u00e8mes dynamiques discrets” (m\u00eame si cette terminologie est d\u00e9j\u00e0 utilis\u00e9e pour un concept voisin). Nous les appellerons ici simplement “syst\u00e8mes”. A part le cas des automates finis, \u00e0 cause d’un d\u00e9tail technique (appel \u00e0 la construction des mono\u00efdes libres), ces objets math\u00e9matiques ne sont pas d\u00e9finis exactement comme des “structures”. Cela a pour effet de les tenir \u00e9loign\u00e9s d’un traitement cat\u00e9gorique spontan\u00e9 (pas de d\u00e9finition naturelle d’homomorphisme, donc pas non plus de limites et colimites). L’expos\u00e9 d\u00e9veloppera et illustrera les questions suivantes :
\n1) Br\u00e8ve r\u00e9flexion sur les mondes respectifs des “syst\u00e8mes” et des “structures” (on \u00e9voquera un probl\u00e8me analogue concernant la d\u00e9finition des esquisses d’Ehresmann). R\u00e9flexions sur ce qu’on peut appeler le “r\u00e9alisme” des premiers et l’ “id\u00e9alisme” des secondes. R\u00e9flexions aussi sur les conditions de finitude des “syst\u00e8mes” et sur celui de leurs bandes enregistreuses.
\n2) Nous montrerons pourquoi tous ces “syst\u00e8mes” se r\u00e9duisent essentiellement \u00e0 des grammaires, ou \u00e0 une l\u00e9g\u00e8re g\u00e9n\u00e9ralisation de celles ci. Cela nous conduit au concept plus fondamental de “syt\u00e8mes de r\u00e9\u00e9critures” puis \u00e0 celui de “2-polygraphes”.
\n3) Introduction, pour tout entier naturel $n$, des $n$-polygraphes et des $n$-logographes. Ce sont des “syst\u00e8mes”, cette fois en dimensions quelconques. Le paradoxe est, qu’en d\u00e9pit de ce qui avait \u00e9t\u00e9 dit, les $n$-polygraphes sont les objets d’une cat\u00e9gorie $n-\\mathsf{Pol}$, dont la d\u00e9finition est naturelle, non pathologique (pour $n = 0$, $1$ et $2$ ce sont des topos !). Mieux, cette cat\u00e9gorie peut m\u00eame se d\u00e9finir sans passer par la d\u00e9finition pr\u00e9alable de ses objets, les $n$-polygraphes (en fait, ceci s’obtient par induction sur $n$, en partant de $0-\\mathsf{Pol} = \\mathsf{Ens}$). Les $n$-polygraphes sont des “syst\u00e8mes” parce que ce sont des “pr\u00e9sentations” de structures, les $n$-cat\u00e9gories, et non \u00e0 proprement parler des “structures”.
\n4) R\u00e9flexions et illutrations avec les $n$-logographes pour des langages $n$-dimensionnels.<\/p>\n
Arnaud Duvieusart :\u00a0Groupo\u00efdes fondamentaux d’objets simpliciaux dans les cat\u00e9gories de Mal’tsev
\nLes nerfs de groupo\u00efdes constituent une sous-cat\u00e9gorie pleine et r\u00e9flective de la cat\u00e9gorie des ensembles simpliciaux. Brown et Janelidze ont montr\u00e9 que cette adjonction induit une structure de Galois, pour laquelle les extensions sont les fibrations de Kan et les complexes de Kan sont admissibles. La propri\u00e9t\u00e9 de Kan \u00e9tant toujours satisfaite dans les cat\u00e9gories exactes de Mal’tsev, ceci sugg\u00e8re que les groupo\u00efdes internes \u00e0 telle cat\u00e9gorie forment une sous-cat\u00e9gorie admissible de la cat\u00e9gorie des objets simpliciaux. On peut en fait montrer que dans ce contexte la sous-cat\u00e9gorie est de Birkhoff. Par ailleurs, on montre que les extensions centrales relatives \u00e0 la structure de Galois correspondante co\u00efncident avec certaines fibrations exactes au sens de Glenn, et que cette structure de Galois admet un syst\u00e8me de factorisation “monotone-light” relatif au sens d\u00e9fini par Chikladze dans le cas des fibrations de Kan entre complexes de Kan.<\/p>\n
Ren\u00e9 Guitart : Cat\u00e9gories et mono\u00efdes complets
\nOn rappelle la notion de mono\u00efde complet, ses rapports aux langages et automates, aux machines, aux univers alg\u00e9briques, aux topos et locales, aux calculs d’id\u00e9aux, aux gerbiers. On identifie la cat\u00e9gorie des cat\u00e9gories \u00e0 une sous-cat\u00e9gorie de la cat\u00e9gorie alg\u00e9brique des mono\u00efdes complets.<\/p>\n
Yann Palu : Complexe platonique et cat\u00e9gories extriangul\u00e9es
\nLa notion de cat\u00e9gorie exacte au sens de Quillen axiomatise les sous-cat\u00e9gories stables par extension dans une cat\u00e9gories ab\u00e9lienne. En th\u00e9orie des repr\u00e9sentations d’alg\u00e8bres, les sous-cat\u00e9gories stables par extension dans une cat\u00e9gorie triangul\u00e9e jouent un r\u00f4le de plus en plus important : Elles apparaissent notamment en lien avec les alg\u00e8bres amass\u00e9es via la r\u00e9duction d’Iyama-Yoshino, ou en lien avec le tau-basculement via la notion de complexe bousculant (silting) \u00e0 deux termes.
\nLes cat\u00e9gories extriangul\u00e9es, introduites en collaboration avec Hiroyuki Nakaoka, sont une axiomatisation de ces sous-cat\u00e9gories stables par extension dans une cat\u00e9gorie triangul\u00e9e et g\u00e9n\u00e9ralisent simultan\u00e9ment la notion de cat\u00e9gorie exacte et celle de cat\u00e9gorie triangul\u00e9e.
\nDans cet expos\u00e9, nous pr\u00e9senterons les cat\u00e9gories extriangul\u00e9es \u00e0 travers un exemple simple issu de la combinatoire.<\/p>\n
Corentin Vienne : Caract\u00e9risation des alg\u00e8bres de Lie via la repr\u00e9sentabilit\u00e9 des actions
\nDe la m\u00eame fa\u00e7on que les actions de groupes sont repr\u00e9sent\u00e9es par les groupes d\u2019automorphismes, les actions d\u2019alg\u00e8bres de Lie sont repr\u00e9sent\u00e9es par les d\u00e9rivations. En effet, \u00e0 isomorphisme pr\u00e8s, une extension scind\u00e9e d\u2019une alg\u00e8bre de Lie $X$ par une alg\u00e8bre de Lie $B$ correspond \u00e0 un morphisme de $B$ vers $Der(X)$. G\u00e9n\u00e9ralis\u00e9 aux cat\u00e9gories semi-ab\u00e9liennes, ce ph\u00e9nom\u00e8ne, introduit par F. Borceux, G. Janelidze et G.M. Kelly dans [2, 1], est nomm\u00e9 representabilit\u00e9 des actions.
\nDurant mon expos\u00e9, \u00e0 l\u2019aide de notions telles que le produit semi-direct (d\u00e9fini dans les cat\u00e9gories semi-ab\u00e9liennes par D. Bourn et G. Janelidze dans [3]), j\u2019expliquerai pourquoi le concept de d\u00e9rivations ne peut pas \u00eatre \u00e9tendu aux autres alg\u00e8bres non-associatives de telle mani\u00e8re \u00e0 ce qu\u2019elles caract\u00e9risent les actions des dites alg\u00e8bres. Autrement dit, sous quelques hypoth\u00e8ses, je donnerai une caract\u00e9risation cat\u00e9gorique, en particulier via la repr\u00e9sentabilit\u00e9 des actions, des alg\u00e8bres de Lie sous la forme du th\u00e9or\u00e8me suivant :
\nTh\u00e9or\u00e8me. Soient $\\mathbb{K}$ un corps infini et $\\mathcal{V}$ une vari\u00e9t\u00e9 d\u2019alg\u00e8bres non-associatives sur $\\mathbb{K}$. Si $\\mathcal{V}$ est une vari\u00e9t\u00e9 non-ab\u00e9lienne action repr\u00e9sentable, alors $\\mathcal{V}$ est soit $Lie_\\mathbb{K}$ la vari\u00e9t\u00e9 des alg\u00e8bres de Lie, soit $qLie_\\mathbb{K}$ la vari\u00e9t\u00e9 des quasi-Lie alg\u00e8bres.
\nTravail en collaboration avec Xabier Garc\u00eda-Mart\u00ednez, Tim Van der Linden et Matvei Tsishyn.
\n[1] F. Borceux, G. Janelidze, and G. M. Kelly, Internal object actions, Comment. Math. Univ. Carolinae 46 (2005), no. 2, 235\u2013255.
\n[2] F. Borceux, G. Janelidze, and G. M. Kelly, On the representability of actions in a semi-abelian category, Theory Appl. Categ. 14 (2005), no. 11, 244\u2013286.
\n[3] D. Bourn and G. Janelidze, Protomodularity, descent, and semidirect products, Theory Appl. Categ. 4 (1998), no. 2, 37\u201346.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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