{"id":1144,"date":"2021-09-03T09:23:18","date_gmt":"2021-09-03T09:23:18","guid":{"rendered":"http:\/\/www.lmpa.univ-littoral.fr\/SIC\/?page_id=1144"},"modified":"2023-08-19T13:51:38","modified_gmt":"2023-08-19T13:51:38","slug":"seminaire-du-8-octobre-2021-a-calais-et-par-visioconference","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www-lmpa.univ-littoral.fr\/~sic\/wordpress\/?page_id=1144","title":{"rendered":"S\u00e9minaire du 8 octobre 2021 \u00e0 Calais et par visioconf\u00e9rence"},"content":{"rendered":"

Lieu: Labo de math de l’Universit\u00e9 du Littoral \u00e0 Calais (plan d’acc\u00e8s<\/a>), salle B.014, et par visioconf\u00e9rence.<\/p>\n

Organisation: Isar Stubbe et Andr\u00e9e Ehresmann (avec l’aide indispensable de Isabelle Buchard, Ga\u00eblle Compi\u00e8gne et Jean-Yves Th\u00e9ry, et le soutien financier de la F\u00e9d\u00e9ration de Recherche Math\u00e9matique des Hauts-de-France<\/a>)<\/p>\n

Inscription: La participation au s\u00e9minaire est gratuite, mais une inscription est n\u00e9cessaire. L’inscription se fait par simple e-mail \u00e0 Isar Stubbe (isar.stubbe[at]univ-littoral.fr, remplacer [at] par @). Merci d’indiquer s’il s’agit d’une participation sur place ou par visioconf\u00e9rence. Le repas de midi et les pauses caf\u00e9 seront offerts aux participants sur place; le lien de la visioconf\u00e9rence sera envoy\u00e9 aux participants \u00e0 distance.<\/p>\n

Attention<\/strong>: Pour la participation sur place, il est oblig\u00e9 d’avoir le EU Digital COVID Certificate<\/a> (ou “pass sanitaire<\/a>” pour les Fran\u00e7ais): son QR code sera scann\u00e9 \u00e0 votre arriv\u00e9e au labo! Par ailleurs, il est conseill\u00e9 de consulter ces pages<\/a> pour organiser votre voyage si vous traversez une fronti\u00e8re; notez que dans ce cas vous devez vous munir d’un engagement sur l’honneur<\/a> d\u00fbment compl\u00e9t\u00e9.<\/p>\n

Programme:
\n10h30 \u2013 accueil avec caf\u00e9
\n11h00 \u2013 Dominique Bourn
\n11h50 \u2013 Aline Michel
\n12h40 \u2013 repas et caf\u00e9
\n14h00 \u2013 William Hautekiet
\n14h50 \u2013 Pierre-Alain Jacqmin
\n15h40 \u2013 caf\u00e9
\n16h10 \u2013 Zurab Janelidze
\n17h00 \u2013 fin<\/p>\n

Titres et r\u00e9sum\u00e9s (ordre alphab\u00e9tique):
\nDominique Bourn – Groupo\u00efdes affines
\nLes groupo\u00efdes ab\u00e9liens<\/em> ont \u00e9t\u00e9 introduit au CT 1999 comme \u00e9tant ceux pour lesquels, pour tout objet $x$, le groupe $Aut_x$ est ab\u00e9lien. Nous leur pr\u00e9f\u00e9rons aujourd’hui la d\u00e9nomination affines<\/em>, nous verrons dans un instant pourquoi. Dans les cat\u00e9gories de Mal’tsev et de Gumm, tous les groupo\u00efdes internes sont affines.
\nUne autre fa\u00e7on de les introduire est de remarquer que tout groupo\u00efde interne \u00e0 une categorie $\\mathbb{E}$:<\/p>\n

\n<\/p>\n

d\u00e9termine sur l’objet $(d_0,d_1):X_1\\to X_0\\times X_0$ de la cat\u00e9gorie slice $\\mathbb{E}\/X_0\\times X_0$ une loi de Mal’tsev associative d\u00e9finie par $p(\\phi,\\chi,\\psi)=\\phi.\\chi^{-1}.\\psi$ pour tout triplet de fl\u00e8ches parall\u00e8les. Un groupo\u00efde est affine si et seulement si cette operation est de plus commutative (et par cons\u00e9quent autonome puisqu’elle est d\u00e9j\u00e0 associative). Ainsi un groupo\u00efde est affine si et seulement si, dans la fibre protomodulaire (et donc mal’tsevienne) $Grd_{X_0}$, l’objet $X_{\\bullet}$ est un objet affine. Ainsi toute relation d’\u00e9quivalence est trivialement un groupo\u00efde affine.
\nLa sous-cat\u00e9gorie $AffGrd_{X_0}\\mathbb{E}\\subset Grd_{X_0}\\mathbb{E}$ est donc naturellement de Mal’tsev et, selon un sch\u00e9ma tr\u00e8s g\u00e9n\u00e9ral, quand $\\mathbb{E}$ est exacte, elle permet la cr\u00e9ation des sommes de Baer des groupo\u00efdes affines connexes ayant m\u00eame direction<\/em> dans la fibre.
\nLorsque ces groupo\u00efdes sont asph\u00e9riques, i.e. lorsque, de plus, $X_0$ est \u00e0 support global, on peut d\u00e9finir un invariant beaucoup plus fort puisque le groupo\u00efde $X_{\\bullet}$ devient faiblement \u00e9quivalent \u00e0 n’importe quel de ses groupes $Aut_x$, produisant un autre type de somme de Baer. De l\u00e0, nous monterons \u00e9galement que, dans le cadre exact, lorsque $f_{\\bullet}: X_{\\bullet}\\to Y_{\\bullet}$ est une equivalence faible, $X_{\\bullet}$ est affine si et seulement si $Y_{\\bullet}$ l’est. Par cons\u00e9quent lorsque $Y_{\\bullet}$ est affine, c’est une relation d’\u00e9quivalence si et seulement si $X_{\\bullet}$ l’est.<\/p>\n

William Hautekiet – Un th\u00e9or\u00e8me de comonadicit\u00e9 pour comodules partiels
\nUn module partiel \u00e0 gauche sur une alg\u00e8bre de Hopf $H$ est un espace vectoriel $M$ muni d’une application lin\u00e9aire unitale $\\rho : H \\otimes M \\to M$ qui satisfait une version affaiblie de l\u2019associativit\u00e9, appel\u00e9e l’associativit\u00e9 partielle<\/em>. Dans [1], il est montr\u00e9 que la cat\u00e9gorie des modules partiels \u00e0 gauche sur $H$ est isomorphe \u00e0 la cat\u00e9gorie des modules \u00e0 gauche sur une autre alg\u00e8bre $H_{par}$, qui porte la structure d’un alg\u00e8bro\u00efde de Hopf.
\nCette situation est dualis\u00e9e dans [2], ce qui donne les comodules partiels (\u00e0 droite), c\u2019est-\u00e0-dire espaces vectoriels munis d’une coaction co-unitale $M \\to M \\otimes H$ qui satisfait la coassociativit\u00e9 partielle. Par contre, il n\u2019existe en g\u00e9n\u00e9ral pas de cog\u00e8bre $C$ pour laquelle la cat\u00e9gorie des comodules partiels sur $H$ est \u00e9quivalente \u00e0 la cat\u00e9gorie de comodules (usuels) sur $C$.
\nOn montre que la cat\u00e9gorie des comodules partiels sur $H$ est comonadique sur $\\mathsf{Vect}_k$, alors elle est \u00e9quivalente \u00e0 la cat\u00e9gorie d\u2019Eilenberg-Moore d\u2019une comonade $\\mathbb{C}$. Dans cet expos\u00e9, la construction de cette comonade est pr\u00e9sent\u00e9e, et sa structure est explor\u00e9e.
\n[1] Marcelo Muniz S. Alves, Eliezer Batista, Joost Vercruysse, Partial representations of Hopf algebras, Journal of Algebra, Volume 426, 2015, Pages 137-187, ISSN 0021-8693, https:\/\/doi.org\/10.1016\/j.jalgebra.2014.12.011.
\n[2] Marcelo Muniz S. Alves, Eliezer Batista, Felipe Castro, Glauber Quadros, Joost Vercruysse, Partial corepresentations of Hopf algebras, Journal of Algebra, Volume 577, 2021, Pages 74-135, ISSN 0021-8693, https:\/\/doi.org\/10.1016\/j.jalgebra.2021.03.001.<\/p>\n

Pierre-Alain Jacqmin – Propri\u00e9t\u00e9s d’exactitude et leur caract\u00e9risation vari\u00e9tale
\n\u00c9tant donn\u00e9e une propri\u00e9t\u00e9 d’exactitude cat\u00e9gorique, comment caract\u00e9riser les cat\u00e9gories alg\u00e9briques (vari\u00e9t\u00e9s) la satisfaisant? La litt\u00e9rature regorge d’exemples de telles caract\u00e9risations, souvent au moyen d’une condition de Mal’tsev. Pour r\u00e9pondre \u00e0 cette question, nous allons d’abord d\u00e9finir de mani\u00e8re formelle une large classe de propri\u00e9t\u00e9s d’exactitude contenant notamment la protomodularit\u00e9, l’unitalit\u00e9 et la propri\u00e9t\u00e9 d’\u00eatre une cat\u00e9gorie de Mal’tsev. Cette d\u00e9finition formelle repose sur la notion d’esquisses au sens de C. Ehresmann. Ensuite, en utilisant des extensions de Kan \u00e0 gauche, nous \u00e9tendrons la th\u00e9orie des op\u00e9rations approxim\u00e9es au sens de D. Bourn et Z. Janelidze \u00e0 ce contexte g\u00e9n\u00e9ral. Ceci nous permettra de caract\u00e9riser les cat\u00e9gories r\u00e9guli\u00e8res finiment cocompl\u00e8tes satisfaisant une telle propri\u00e9t\u00e9 d’exactitude. Nous appliquerons ensuite cette caract\u00e9risation au cas vari\u00e9tal pour r\u00e9pondre \u00e0 la question initialement pos\u00e9e.
\nUne partie de ces r\u00e9sultats est un travail en collaboration avec Zurab Janelidze.<\/p>\n

Zurab Janelidze – Forms vs monoidal categories
\nBy a “form” we mean a faithful amnestic functor. Such functors are of course a very old object of study. They arise naturally in categorical logic, categorical topology, as well as in the notion of a concrete category. In all of these topics, however, the emphasis is on the domain category of the functor. In the theory of forms, one regards the codomain of the functor as the main object of study, treating a form as an additional information that category is equipped with. This approach is very similar to the study of fibrations in topology and the original approach of Grothendieck in the theory of (categorical) fibrations. The fibres of a form are to be seen as abstractly specified posets of subobjects, quotient objects, or their combination. Functorial duality plays a significant role in the development of the theory: one is interested in axioms on a form that are invariant under switching to the dual form (functor). Forms have applications in the analysis of homomorphisms theorems for group-like structures in algebra, in the theory of semi-abelian categories, as well as in the theory of categorical closure operators. While we will mention some of these applications, the main purpose of this talk is to explain an analogy between forms seen as categories equipped with a “posetal structure” and monoidal categories. We will see, in particular, that these two structures provide two intermediate streams of structural hierarchy that exist between the notion of an abelian category and the notion of a general category.<\/p>\n

Aline Michel – Th\u00e9ories de torsion et rev\u00eatements des groupes pr\u00e9ordonn\u00e9s
\nUn groupe pr\u00e9ordonn\u00e9 est un groupe muni d’un pr\u00e9ordre qui est compatible avec la loi d’addition du groupe. Dans cet expos\u00e9, on s’int\u00e9resse \u00e0 la cat\u00e9gorie PreOrdGrp des groupes pr\u00e9ordonn\u00e9s et des morphismes de groupes pr\u00e9servant le pr\u00e9ordre. Nous utilisons tout d’abord plusieurs r\u00e9sultats int\u00e9ressants d\u00e9velopp\u00e9s dans [1] par Clementino, Martins-Ferreira et Montoli afin de trouver une th\u00e9orie de torsion dans PreOrdGrp. Celle-ci induit un r\u00e9flecteur \u00ab semi-left-exact \u00bb de PreOrdGrp vers sa sous-cat\u00e9gorie ParOrdGrp des groupes partiellement ordonn\u00e9s, qui lui-m\u00eame donne naturellement lieu \u00e0 un syst\u00e8me de factorisation $(E,M)$ o\u00f9 $M$ est la classe des rev\u00eatements triviaux (au sens de la th\u00e9orie cat\u00e9gorique de Galois). La seconde partie de l’expos\u00e9 est ensuite consacr\u00e9e \u00e0 la description de la classe $M^*$ (c’est-\u00e0-dire la \u00ab localisation \u00bb de la classe $M$), qui fournit ainsi une caract\u00e9risation assez simple des rev\u00eatements (au sens de la th\u00e9orie cat\u00e9gorique de Galois) dans le contexte des groupes pr\u00e9ordonn\u00e9s. Il est \u00e9galement possible de d\u00e9crire la classe $E’$ (la \u00ab stabilisation \u00bb de $E$) et de prouver que la paire $(E’,M^*)$ est un syst\u00e8me de factorisation \u00ab monotone-light \u00bb. Cette pr\u00e9sentation se base sur un article \u00e9crit en collaboration avec Marino Gran [2]. Une g\u00e9n\u00e9ralisation aux $V$-groupes (pour $V$ un quantale ad\u00e9quat) des r\u00e9sultats expos\u00e9s sera aussi tr\u00e8s bri\u00e8vement abord\u00e9e [3] (avec plus ou moins de d\u00e9tails, selon le temps restant).
\n[1] M.M. Clementino, N. Martins-Ferreira, and A. Montoli, On the categorical behaviour of preordered groups, J. Pure Appl. Algebra 223 (2019), 4226-4245.
\n[2] M. Gran, and A. Michel, Torsion theories and coverings of preordered groups, Algebra Univers. 82, 22 (2021), https:\/\/doi.org\/10.1007\/s00012-021-00709-6.
\n[3] A. Michel, Torsion theories and coverings of $V$-groups, under review (2021) https:\/\/arxiv.org\/abs\/2104.05616.<\/p>\n

Participants sur place (par ordre d’inscription):
\nIsar Stubbe
\nWilliam Hautekiet
\nPierre-Alain Jacqmin
\nAline Michel
\nJohn Robert
\nJoost Vercruysse
\nDominique Bourn
\nTim Van der Linden
\nNicola Carissimi
\nMarino Gran
\nJacques Penon<\/p>\n

Participants \u00e0 distance (par ordre d’inscription):
\nAndr\u00e9e Ehresmann
\nZurab Janelidze
\nWilliam Zuluaga Botero
\nPhilippe Gaucher
\nMichael Wright
\nElisabeth Vaugelade
\nPaolo Saracco
\nArnaud Duvieusart
\nFlorence Sterck
\nIvo Dell’Ambrogio
\nAlexis Virelizier
\nDaniel Tanr\u00e9
\nSerge Bouc
\nAlbert Burroni
\nJulia Ramos Gonz\u00e1lez
\nSebastian Cea
\nJacques Darn\u00e9
\nNadja Egner
\nSanjiv Ranchod
\nRen\u00e9 Guitart<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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