Organisation: A. Ehresmann, E. Vaugelade<\/p>\n
Lieu: Universit\u00e9 de Picardie \u00e0 Amiens, salle \u00e0 pr\u00e9ciser<\/p>\n
Programme:<\/p>\n
9h15 Accueil<\/p>\n
9h45-10h30\u00a0 Andrea MONTOLI (Milano, Italie): “Une generalisation du th\u00e9or\u00e8me de Schreier-MacLane”
\nOn donne une version intrinse\u0300que du the\u0301ore\u0300me de Schreier-Mac Lane, connu classiquement pour les groupes : sur l’ensemble ${\\sf Ext}_{\\varphi}(Y, K)$ des classes d’isomorphisme d’extensions avec noyau abstrait $\\varphi\\colon Y\\to{\\sf Aut}(K)\/{\\sf Int}(K)$ il y a une action simplement transitive du groupe ${\\sf Ext}_{\\varphi’}(Y, ZK)$, ou\u0300 $ZK$ est le centre de $K$ et $\\varphi’$ est obtenu a\u0300 partir de $\\varphi$ par restriction. D. Bourn a montre\u0301 que ce the\u0301ore\u0300me est valable dans chaque cate\u0301gorie semi-abe\u0301lienne avec split extension classifier. Nous e\u0301tendons ce re\u0301sultat aux cate\u0301gories action accessible qui comprennent les cate\u0301gories des anneaux, des alge\u0300bres associatives, des alge\u0300bres de Leibniz et de Poisson et les dialge\u0300bres associatives (selon J.L. Loday). (Travail en collaboration avec Dominique Bourn)<\/p>\n
10h35-11h20\u00a0 Lurdes SOUSA (Viseu, Portugal): “Reflective subcategories characterized via\u00a0 injectivity”
\nIl est bien connu que les sous-cate\u0301gories pleines et re\u0301flexives d’une cate\u0301gorie $X$ sont essentiellement les cate\u0301gories des alge\u0300bres d’une monade idempotente $T$ sur $X$, et, de plus, les objets de $X$ qui “appartiennent” a\u0300 $X^T$ sont caracterise\u0301s par orthogonalite\u0301. Dans le cadre des cate\u0301gories enrichies sur la cate\u0301gorie des ensembles partiellement ordonne\u0301s, je vais pre\u0301senter une famille de sous-cate\u0301gories re\u0301flexives et une notion convenable d’injectivite\u0301 qui, avec la notion de monade du type Kock-Zo\u0308berlein, permettent d’obtenir une ge\u0301ne\u0301ralisation de plusieurs proprie\u0301te\u0301s concernant les sous-cate\u0301gories re\u0301flexives et l’orthogonalite\u0301.<\/p>\n
11h25-12h10\u00a0 Isar STUBBE (Calais): “Cauchy-compl\u00e9tion et sym\u00e9trie”
\nPour une cate\u0301gorie $A$ enrichie dans un quantaloi\u0308de $Q$, on peut calculer sa Cauchy-comple\u0301tion $A_{\\sf cc}$, mais aussi son syme\u0301trise\u0301 $A_{\\sf s}$. Pour les espaces me\u0301triques ge\u0301ne\u0301ralise\u0301s (B. Lawvere), i.e. les cate\u0301gories enrichies dans le quantale des re\u0301els positifs, ces deux proce\u0301de\u0301s sont “compatibles” : la Cauchy- comple\u0301tion d’un espace me\u0301trique syme\u0301trique est encore syme\u0301trique. Mais ce n’est pas vrai en ge\u0301ne\u0301ral. Dans cet expose\u0301 je vais montrer une condition e\u0301le\u0301mentaire sur $Q$ qui assure la compatiblite\u0301 de Cauchy- comple\u0301tion et syme\u0301trie des $Q$-cate\u0301gories. Cette condition est satisfaite par un bon nombre d’exemples, dont le quantale des re\u0301els positifs, mais aussi par tout quantaloide associe\u0301 a\u0300 une topologie de Grothendieck (B. Walters). Cela a son importance pour la the\u0301orie des “faisceaux sur un quantaloide”. (Travail en collaboration avec H. Heymans)<\/p>\n
D\u00e9jeuner<\/p>\n
14h-14h45 Marie BJERRUM (Cambridge,UK): “La connection de Galois entre limites inductives et projectives par commutation dans $\\sf Ens$”
\nIt is a well established fact that filtered colimits commute with finite limits in the category of sets and a few articles treat other mixed interchange properties in $\\sf Set$ such as finite products commuting with so-called sifted colimits, and finite connected limits commuting with pseudofiltered colimits, etc. Abstractly we can determine necessary and sufficient conditions for a small colimit to commute with a given small limit in the category of sets (work by C. Lair and F. Foltz in “Diagrammes”). But it is not immediate to subtract from this any classification of the concrete limits and colimits that commute in $\\sf Set$. However by looking at special cases we get a more complete picture of this Galois correspondence between the classes of limits and colimits that commute, even if we don’t yet have complete transparency. (This is PhD-work in progress.)<\/p>\n
14h50-15h35\u00a0 Zurab JANELIDZE (Stellenbosch, Afrique du Sud): “Algebraic aspects of categories with finite colimits”
\nIn an algebraic category $C$, elements of the free algebra with $n$ generators (which is the same as an $n$-fold copower $nX$ of the free algebra $X$ with one generator) represent terms of the algebraic theory corresponding to $C$. In a general category $C$ there are no “free algebras” and there is no “algebraic theory”, but we could still consider generalized elements of an $n$-fold copower $nX$ of an object $X$ (provided the copower exists), as kind of “terms at $X$ “. Each such term $t\\colon T\\to nX$ defines in a canonical way an $n$-ary operation on generalized elements of any object $A$, having domain $X$; moreover, any morphism $f\\colon A\\to B$ in the category preserves such operations. This reveals that there is a certain algebraic “syntax” associated to any category $C$ with finite colimits. We show that this “syntax” is strong enough to provide a purely algebraic description (in the style of Mal’tsev conditions of Universal Algebra) of protomodularity and other related exactness properties studied in modern Categorical Algebra. (This talk is based on an on-going joint work with Dominique Bourn)<\/p>\n
Caf\u00e9<\/p>\n
15h45-16h30\u00a0 Radu STANCU (Amiens): “Sur le centre gradu\u00e9 d’une cat\u00e9gorie triangul\u00e9e”
\nSoit $k$ un anneau commutatif. Le centre gradue\u0301 d’une cate\u0301gorie $k$-line\u0301aire triangule\u0301e $(C, \\Sigma)$ sur $k$ est un $k$-module gradue\u0301 ayant comme composante en degre\u0301 $n$ l’ensemble des transformations naturelles $k$-line\u0301aires de l’identite\u0301 dans $\\Sigma^n$ qui commutent au signe pre\u0300s avec $\\Sigma$ : $\\Sigma\\varphi = (-1)n\\varphi\\Sigma$. La cate\u0301gorie stable des modules de type fini sur une $k$-alge\u0300bre auto-injective, de dimension finie est une cate\u0301gorie triangule\u0301e ayant comme foncteur de de\u0301calage l’inverse de l’ope\u0301rateur de Heller. Son centre gradue\u0301 a e\u0301te\u0301 calcule\u0301 par Radha Kessar et Markus Linckelmann dans le cas des alge\u0300bres d’arbres de Brauer (qui inclut le cas des alge\u0300bres des $p$-groupes cycliques en caracte\u0301ristique $p$, par ailleurs traite\u0301 inde\u0301pendamment par Henning Krause et Yu Ye). Le but de cet expose\u0301 est de de\u0301crire les proprie\u0301te\u0301s du centre gradue\u0301 de la cate\u0301gorie stable d’un $p$- groupe fini et de montrer que, pour tout $p$-groupe $P$ de rang au moins $2$ et tout corps alge\u0301briquement clos $k$ de caracte\u0301ristique $p$, le centre gradue\u0301 de la cate\u0301gorie stable des $kP$-modules de type fini est de dimension infinie en degre\u0301s impairs si $p$ est impair et en tout degre\u0301 si $p = 2$. La preuve se base sur la construction des e\u0301le\u0301ments du centre gradue\u0301 en dimension $-1$ en partant des suites presque scinde\u0301es de Auslander-Reiten. (Ce travail est fait en collaboration avec Markus Linckelmann)<\/p>\n
16h35-17h20\u00a0 Alan CIGOLI (Milano, Italie): “Centrality and internal actions”
\nUn homomorphisme surjectif $f\\colon A\\to B$ de groupes est appele\u0301 “extension centrale” lorsque l’une des conditions e\u0301quivalentes suivantes est verifie\u0301e: (1) son noyau $K$ est contenu dans le centre de $A$, (2) le commutateur $[K, A] = 0$, (3) l’action de conjugaison de $K$ sur $A$ est triviale. On donne une interpre\u0301tation cate\u0301gorique pour chacune de ces conditions en montrant que leur e\u0301quivalence est e\u0301galement valable dans des contextes beaucoup plus ge\u0301ne\u0301raux.<\/p>\n