Lieu : Universit\u00e9 Diderot Paris 7, Halle aux Farines, salle 165 E<\/p>\n
Organisation : Ren\u00e9 Guitart<\/p>\n
Programme :<\/p>\n
9h45-10h30 : Laurent Coppey \u2014 Facteurs S\u00e9ries des fonctions L.
\nCaract\u00e9risation des d\u00e9compositions \u201cdirectes\u201d multiplicatives de $\\mathbb{N}^\u2217$ ; la structure de base utilis\u00e9e est celle de pr\u00e9mono\u00efde (commutatif) bien ordonn\u00e9 que j\u2019ai introduite en 1975. Notion de noyaux (relatifs) d\u2019instabilit\u00e9 associ\u00e9s \u00e0 une d\u00e9composition directe d\u2019un pr\u00e9mono\u00efde. Condition suffisante de trivialit\u00e9 d\u2019une d\u00e9composition produit. Structure d\u2019objet irr\u00e9ductible relatif \u00e0 une d\u00e9composition directe additive $(A,B)$ de $N^{(N)}$ ; suite caract\u00e9ristique des foncteurs d\u00e9riv\u00e9s associ\u00e9e ; construction d\u2019une telle suite, param\u00e8tres libres. Typification des d\u00e9compositions : squelettes (sains ou sutur\u00e9s).<\/p>\n
10h40-11h25 : Philippe Gaucher \u2014 Vers une th\u00e9orie homotopique des syst\u00e8mes de transition de haute dimension.
\nCattani et Sassone ont propos\u00e9 en 1996 une mod\u00e9lisation de l\u2019ex\u00e9cution concurrente de $n$ actions par un multi-ensemble de n \u00e9l\u00e9ments. Je vais expliquer comment en cherchant \u00e0 topologiser la notion de multi-ensemble et leur axiome d\u2019entrelacement, on arrive \u00e0 une cat\u00e9gorie de mod\u00e8les combinatoire propre gauche de syst\u00e8mes de transition cubiques. D\u2019abord je d\u00e9crirai la structure homotopique minimale. On verra notamment qu\u2019un autre de leurs axiomes, introduit pour des raisons de mod\u00e9lisation informatique, joue un r\u00f4le important dans la th\u00e9orie homotopique. Puis, la classe d\u2019\u00e9quivalences faibles \u00e9tant trop “petite”, je d\u00e9crirai la localisation homotopique par rapport \u00e0 la classe propre des bisimulations. L\u2019expos\u00e9 survolera un article publi\u00e9 qui fait aussi le lien avec les ensembles pr\u00e9cubiques \u00e9tiquet\u00e9s, mais je ne parlerai pas du tout de ces derniers, une pr\u00e9publication soumise qui construit la structure homotopique minimale, et mon travail en cours sur le sujet.<\/p>\n
11h35-12h20 : Marino Gran \u2014 Une bonne th\u00e9orie des id\u00e9aux dans les cat\u00e9gories r\u00e9guli\u00e8res.
\nNous introduisons la notion de cat\u00e9gorie avec une bonne th\u00e9orie des id\u00e9aux, qui permet de traiter simultan\u00e9ment le cadre point\u00e9 des cat\u00e9gories id\u00e9al d\u00e9termin\u00e9es et le cadre non point\u00e9 des cat\u00e9gories exactes de Goursat. La notion d\u2019id\u00e9al de morphismes joue un r\u00f4le central dans cette nouvelle approche. Entre autre, nous identifions une propri\u00e9t\u00e9 fondamentale commune aux cat\u00e9gories id\u00e9al d\u00e9termin\u00e9es et aux cat\u00e9gories de Goursat qui permet de donner une preuve unique de la modularit\u00e9 des treillis des congruences de ces cat\u00e9gories. Travail en collaboration avec A. Ursini et Z. Janelidze.<\/p>\n
14h15-15h : Alain Prout\u00e9 \u2014 Sur quelques liens entre cat\u00e9gories, programmation et preuves.
\nLes langages de programmation (r\u00e9els) sont n\u00e9s dans les ann\u00e9es 50 comme des langages adhoc model\u00e9s directement sur les machines. Certains langages ont transcend\u00e9 cette approche en se basant sur des th\u00e9ories formelles\/math\u00e9matiques (Lisp, Prolog, …), augmentant de mani\u00e8re drastique l\u2019expressivit\u00e9 des langages. Des notions de plus en plus fines de typage se sont impos\u00e9es au fil du temps, pour lesquelles les concepts cat\u00e9goriques se sont av\u00e9r\u00e9s \u00eatre les mod\u00e9lisations les plus naturelles. La dualit\u00e9 cat\u00e9gorique, en r\u00e9duisant l\u2019asym\u00e9trie impos\u00e9e par la pr\u00e9sence d\u2019\u00e9l\u00e9ments dans les ensembles ou les types de donn\u00e9es, permet de mieux comprendre les conditionnelles, les flux de donn\u00e9es, etc … Cette \u00e9volution est loin d\u2019\u00eatre termin\u00e9e, et la th\u00e9orie des topos \u00e9l\u00e9mentaires est une voie prometteuse pour la conception de nouveaux langages de m\u00eame que pour un rapprochement math\u00e9matiques\/programmation.<\/p>\n
15h10-15h55 : Andrea Montoli \u2014 Produits semi-directs en vari\u00e9t\u00e9s unitaires.
\nLa notion cat\u00e9gorique de produit semi- direct, introduite par D. Bourn et G. Janelidze, permet de r\u00e9cup\u00e9rer, dans le cadre semi-ab\u00e9lien, l\u2019\u00e9quivalence entre extensions scind\u00e9es et actions internes, en g\u00e9n\u00e9ralisant l\u2019\u00e9quivalence classique connue pour les groupes. Nous comparons la notion cat\u00e9gorique de produit semi-direct avec la notion classique, bas\u00e9e sur les actions externes, dans le cadre des vari\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques unitaires, avec attention particuli\u00e8re au cas des mono\u00efdes. Travail en collaboration avec Nelson Martins Ferreira.<\/p>\n
16h05-16h50 : Ren\u00e9 Guitart \u2014 Bourbaki, les structures et les cat\u00e9gories.
\nFaut-il faire des math\u00e9matiques \u00e0 l\u2019aide de structures-m\u00e8res bien particuli\u00e8res h\u00e9rit\u00e9es, ou bien faut-il manipuler des structures sans cesse librement renouvel\u00e9es ? Sur cette diff\u00e9rence de postures \u2014 de Weil et d\u2019Ehresmann respectivement [dont on mettra deux sonnets face \u00e0 face]\u2014 la th\u00e9orie des cat\u00e9gories s\u2019engagea au tournant des ann\u00e9es 60 dans deux voies parall\u00e8les \u00e0 dissocier a priori : l\u2019examen des cat\u00e9gories de structures particuli\u00e8res en termes de propri\u00e9t\u00e9s universelles, et la construction d\u2019une th\u00e9orisation g\u00e9n\u00e9rale des structures, via l\u2019id\u00e9e unique de propri\u00e9t\u00e9 universelle. Peut-\u00eatre ces deux voies se rejoignent-elles si nous pouvons soutenir aujourd\u2019hui que in fine il n\u2019est qu\u2019une esp\u00e8ce de structure naturelle, celle de cat\u00e9gorie. On examinera l\u2019histoire de cette bifurcation.<\/p>\n