♦ Un premier développement est l'exention des résultats obtenus dans [1] et
[17] en considérant une
structure à la fois tridimensionnelle et formée d'inclusions fortement diélectriques et disposées aléatoirement.
Il serait également intéressant, et sans doute beaucoup plus difficile, de comprendre ce qui se passe dans le cas de structures aléatoires plus générales où la répartition
des inclusions ne s'organise plus suivant une grille de périodicité donnée à priori : le cas envisagé dans [17] n'étant en fait qu'une perturbation aléatoire du cas
périodique. Une première étape serait d'adapter la modélisation plus générale proposée dans [20] dans le cadre de la mécanique.
♦ Un important défi numérique serait de comparer le comportement effectif des milieux obtenus dans [1], [2] et [17] avec celui de la structure réelle associée. En particulier cela demande de pouvoir extraire les paramètres effectifs d'une telle structure à partir de la connaissance numérique du champ diffracté (problème inverse).
♦ Quelques questions théoriques liées à l'homogénéisation restent en suspend, notamment dans des situations où l'analyse double-échelle classique est insuffisante pour identifier les oscillations du champ électromagnétique. Mentionnons deux situations où il ne semble pas possible de se limiter à des fonctions périodiques pour décrire les oscillations du champ électromagnétique (il serait peut être nécessaire d'incorporer des développements de type onde de Bloch dans l'analyse multi-échelle sous une forme qui n'est pas encore très claire).
- Tamis à photons : Il s'agit d'un dispositif dans lequel peut avoir lieu un phénomène de transmission extraordinaire. La structure est une plaque métallique très fine dans laquelle sont percés une multitude de trous disposés périodiquement. L'épaisseur de la plaque ainsi que la taille des trous sont inférieurs à la longueur d'onde incidente. T. Ebbesen a montré dans son célèbre article de 1998 [21] que le taux de transmission lumineuse à travers une telle structure était beaucoup plus élevé que ce que prévoyait la théorie classique pour certaines fréquences. Physiquement, ce phénomène peut s'expliquer par l'excitation de champs localisés sur la surface de la plaque ("plasmons de surfaces") qui résulte de la présence des trous [22] .
- Structure filet ("double Fishnet") :
Celle-ci est constituée de la superposition d'une multitude de couches composites (parallèles) dont chacune
est formée
de deux plaques métalliques parallèles très proches et percées périodiquement.
Comme le montre des études physiques récentes [23,24] (2007,2008), l'intérêt de cette structure est de produire,
des activités électriques et magnétiques
à l'échelle microscopique. Celles-ci interviennent dans certains cas de polarisation et, expérimentalement, semblent donner lieu à une perméabilité et une permittivité pouvant être simultanément négatives.
Les milieux gauchers peuvent ainsi être obtenus à l'aide de ce type de composites qui se révèlent être
plus simple que les milieux formés de la superposition de
deux réseaux distincts (dont chacun est responsable d'un des effets recherchés).
Une difficulté mathématique majeure est qu'il n'est pas évident que l'indice de réfraction négatif observé peut être expliqué par une analyse
asymptotique de type homogénéisation. Les arguments donnés par les physiciens (obtenus sous des hypothèses très restrictives) portent
plutôt sur l'étude des diagrammes de dispersion mais ne mentionnent pas de comportement asymptotique quand la période converge vers zéro.
Cependant, il est très intéressant de spéculer sur la possibilité d'un éclaircissement de la physique du problème via une technique d'homogénéisation
non classique.
Une première étape à franchir est de comprendre quel est le choix pertinent des différents paramètres et ordres de grandeurs pour lesquels la structure
pourra exhiber les effets recherchés.
Éventuellement, ces choix peuvent être hiérarchisés en effectuant des homogénéisations réitérées : par exemple,
la première structure, constituée d'une unique
couche (contenant les deux plaques), deviendrait infiniment mince et conduirait ainsi à des conditions d'interfaces limites. La seconde
étape se proposerait d'étudier une superposition de telles interfaces séparées d'une distance asymptotiquement nulle puis d'identifier
une éventuelle loi volumique homogénéisée.
De plus, la structure étant invariante dans aucune direction (même si supposée infinie), l'hypothèse de polarisation des champs est difficilement justifiable mathématiquement et il serait
préférable d'obtenir un résultat d'homogénéisation tridimensionnel.
[20] G. Michaille, Azdine Nait-ali and Stéphane Pagano, Macroscopic behavior of a randomly fibered medium , preprint
[21] T. W. Ebbesen, H. J. Lezec, H. F. Ghaemi, T. Thio1 and P. A. Wolff, Extraordinary optical transmission through sub-wavelength hole arrays , Nature, 391, 1998, 667-669.
[22] Nicolas Bonod, Stefan Enoch, Lifeng Li, Popov Evgeny and Michel Neviere, Resonant optical transmission through thin metallic films with and without holes , Opt. Express, 11, 2003, 5, 482-490.
[23] A. Mary, Sergio G.Rodrigo, F. J. Garcia-Vidal and L. Martin-Moreno, Theory of Negative-Refractive-Index Response of Double-Fishnet Structures , Phys. Rev. Lett., 101, 2008, 10, 103902.
[24] M. Kafesaki, I. Tsiapa, N. Katsarakis, Th. Koschny, C. M. Soukoulis and E. N. Economou, Left-handed metamaterials: The fishnet structure and its variations , Phys. Rev. B, 75, 2007, 23, 235114.