Séminaire Itinérant de Catégories

Journée Mathématique en l’honneur d’Andrée Ehresmann, à l’occasion de ses 90 ans.

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Lieu : Local CYCL01 du Bâtiment Marc de Hemptinne (dit « le cyclotron »), Institut de Recherche en Mathématique et Physique, Université catholique de Louvain, chemin du cyclotron 2, 1348 Louvain-la-Neuve, Belgique.

Organisation : Marino Gran, Isar Stubbe, Tim Van der Linden, Enrico Vitale

Participation : La participation au SIC est gratuite. Pour des raisons pratiques, on demande aux participants de s’inscrire. Pour cela, un simple mail à Marino Gran suffit (marino.gran[at]uclouvain.be). Le déjeuner sera offert aux participants inscrits avant le 22 août.

Programme (titres et résumés en bas de page):
09h30 – René Guitart (présentation), suivi d’une intervention par Andrée Ehresmann
10h20 – Café
10h40 – Dominique Bourn (présentation)
11h30 – Andrea Montoli (présentation)
12h20 – Repas
14h30 – Maxime Culot (présentation)
15h20 – Café
15h40 – Bo Shan Deval (présentation)
16h30 – Giuseppe Metere (présentation)
17h20 – Fin

Participants (par ordre d’inscription, (*) = participation à distance) :
Andrée Ehresmann (Amiens (*))
Marino Gran (UCLouvain)
Isar Stubbe (Calais)
Tim Van der Linden (UCLouvain)
Enrico Vitale (UCLouvain)
René Guitart (Paris/Nantes)
Maxime Culot (UCLouvain)
François Cayphas (UCLouvain)
Marco Abbadini (UCLouvain)
Lucrezia Bottegoni (ULB)
Paolo Saracco (ULB (*))
Bo Shan Deval (UCLouvain)
Dominique Bourn (Calais)
Andrea Montoli (Milano)
Stefano Ambra (Milano)
Giuseppe Metere (Milano)
Arnaud Duvieusart (UCLouvain)
Corentin Vienne (UCLouvain)
Ony Aubril (UCLouvain)
Noé Legrand (UCLouvain)
Roland Cazalis (UNamur)
John. F. Robert
Jean-Roger Roisin (UCLouvain)
Jacques Penon (Paris)
Albert Burroni (Paris)
Elisabeth Burroni (Paris)
Olivier Grudé (Strasbourg)
Logan Geenis (UCLouvain)
Manuel Mancini (Palermo/UCLouvain (*))
Nadja Egner (UCLouvain)
Elisabeth Vaugelade (Université de Picardie (*))
David Forsman (UCLouvain)
Vito Volpe (Milano)

Titres et résumés :

Dominique Bourn : Equ-saturating categories
Starting from the varietal notion of syntactic equivalence relation (back to 1956!), we generalized it to a categorical concept; namely Equ-saturating category. We produce various examples, among which any variety, and focuss our attention on the Equ-saturating protomodular context in which any equivalence relation is then shown to have a centralizer.

Maxime Culot : Modules croisés projectifs dans les catégories semi-abéliennes
Dans [3], les auteurs ont explicité un cadre pour dériver à gauche, en utilisant la formule connue dans le cadre abélien, d’un foncteur protoadditive [4,5] ayant comme domaine et codomaine des catégories non-abéliennes.
Le but de cet exposé sera de présenter un exemple non-trivial où ce théorème peut s’appliquer : si on considère une variété d’algèbre semi-abélienne $\mathbb{V}$ qui satisfait la condition (P) au sens de [3], alors on peut dériver le foncteur $\pi_0:XMod(\mathbb{V})\to \mathbb{V}$ où $XMod(\mathbb{V})$ est la catégorie des modules croisés internes à $\mathbb{V}$ au sens de [7].
Dans cet exposé, nous rappelons la définition d’un module croisé interne et nous expliciterons une autre caractérisation équivalente [6] qui a été retenue dans [2] pour raccourcir certaines preuves. Par la suite, nous nous attarderons sur la condition (P) (condition ayant attrait aux objets projectifs de la catégorie considérée) puisque nous verrons que les autres hypothèses requises pour appliquer la dérivation de image004.png sont assez faciles à vérifier et/ou sont déjà connus dans la littérature. Pour conclure, nous exprimons deux résultats intermédiaires cruciaux pour démontrer que image003.png satisfait la condition (P) dès que c’est le cas pour $\mathbb{V}$.
Cet exposé est basé sur [2].
[1] P. Carrasco, A. M. Cegarra, and A. R.-Grandjeán, (Co)Homology of crossed modules, J. Pure Appl. Algebra 168 (2002), no. 2-3, 147–176.
[2] M.Culot, Projective crossed modules in semi-abelian categories, preprint arXiv:2502.19165
[3] M. Culot, F. Renaud, and T. Van der Linden, Non-additive derived functors via chain resolutions, Glasgow Math. J. (2025), to appear.
[4] T. Everaert and M. Gran, Homology of n-fold groupoids, Theory Appl. Categ. 23 (2010), no. 2, 22–41.
[5] T. Everaert and M. Gran, Protoadditive functors, derived torsion theories and homology, J. Pure Appl. Algebra 219 (2015), no. 8, 3629–3676.
[6] M. Hartl and T. Van der Linden, The ternary commutator obstruction for internal crossed modules, Adv. Math. 232 (2013), no. 1, 571–607.
[7] G. Janelidze, Internal crossed modules, Georgian Math. J. 10 (2003), no. 1, 99–114

Bo Shan Deval : Commutateurs torsadés
Nous introduisons la nouvelle notion de commutateur torsadé, une variation du commutateur de Higgins impliquant une action, le cas classique étant retrouvé lorsque cette action est triviale. Nous montrerons comment retrouver les analogues de certaines propriétés du commutateur classique et présenterons un exemple d’application, une caractérisation des modules croisés. Basé sur un travail en collaboration avec Tim Van der Linden [B. S. Deval and T. Van der Linden, Twisted Commutators and Internal Crossed Modules, Adv. Stud. Euro-Tbil. Math. J. 17 (2024), no. 3].

René Guitart : Invitation aux oeuvres d’Andrée Ehresmann

Giuseppe Metere : Coherent and ideal actions
In the setting of ideally exact categories, we introduce the notions of internal coherent action and internal ideal action, which generalize distinct aspects of unitary actions in rings and algebras. For example, in the case of rings, given an action of a unitary ring B on a ring (or ideal) X, one may require that the multiplicative unit of B act unitarily on the elements of X; this defines a coherent action. Alternatively, one may require that the split epimorphism induced by the semidirect product associated with such an action be unitary, thus defining an ideal action. In this specific case, the two notions coincide, but there appears to be no obvious reason for this coincidence in the broader context of ideally exact categories. In fact, we prove that every ideal action is coherent, and that the converse holds in certain contexts of interest. Time permitting, we also discuss a connection with G. Janelidze’s notion of semidirect product in ideally exact categories. This is joint work with M. Mancini and F. Piazza. Preprint available at https://arxiv.org/pdf/2507.06124

Andrea Montoli : Théories de torsion dans un contexte non-pointé
Nous étudions une version non-pointée de la notion de théorie de torsion dans le cadre des catégories munies d’une sous-catégorie monocoréflexive posétale telle que le coreflecteur inverse les monomorphismes. Nous explorons les liens de ces théories de torsion avec les systèmes de factorisation et les structures galoisiennes catégoriques. Nous décrivons plusieurs exemples de ces théories de torsion, dans le dual des topos élémentaires, dans des variétés d’algèbres universelles utilisées comme modèles pour la logique non classique, et dans les coslices de la catégorie des groupes abéliens. Travail en collaboration avec Andrea Cappelletti.
Travail ayant bénéficié du support de la Shota Rustaveli National Science Foundation of Georgia (SRNSFG), grant FR-24-9660.